【題目】如圖,已知l1⊥l2,⊙O與l1,l2都相切,⊙O的半徑為2cm.矩形ABCD的邊AD,AB分別與l1,l2重合,AB=cm,AD=4cm.若⊙O與矩形ABCD沿l1同時向右移動,⊙O的移動速度為3cm/s,矩形ABCD的移動速度為4cm/s,設(shè)移動時間為t(s).
(1)如圖①,連接OA,AC,則∠OAC的度數(shù)為 °;
(2)如圖②,兩個圖形移動一段時間后,⊙O到達(dá)⊙O1的位置,矩形ABCD到達(dá)A1B1C1D1的位置,此時點(diǎn)O1,A1,C1恰好在同一直線上,求圓心O移動的距離(即OO1的長);
(3)在移動過程中,圓心O到矩形對角線AC所在直線的距離在不斷變化,設(shè)該距離為d(cm).當(dāng)d<2時,求t的取值范圍.(解答時可以利用備用圖畫出相關(guān)示意圖)
【答案】(1)105;(2);(3)<t<.
【解析】試題分析:(1)⊙O與l1,l2都相切,連接圓心和兩個切點(diǎn),等正方向.OA即為正方形的對角線,得到∠OAD=450,再在Rt△ADC中,由銳角三角函數(shù)求∠DAC=600,從而求得∠OAC的度數(shù)1050.
(2)連接O1與切點(diǎn)E,則O1E=2,O1E⊥l1,利用△O1EA1∽△D1C1E1,求A1E=,根據(jù)2+O1O+A1E=AA1,可求t,進(jìn)而求得圓心移動的距離3t=.
(3)圓心O到對角線AC的距離d<2,即d<r.說明⊙O與AC相交,所以出找兩個臨界點(diǎn)的t值,即⊙O與AC相切.運(yùn)動中存在兩個相切的位置.分別求兩個相切時t的值,即可得出d<r時,t的取值
試題解析:解:(1)1050.
(2)O1,A1,C1恰好在同一直線上時,設(shè)⊙O與AC的切點(diǎn)為E,連接O1E,如答圖1,
可得O1E=2,O1E⊥l1,
在Rt△A1D1C1中,∵A1D1=4,D1C1=,
∴tan∠C1A1D1=.∴∠C1A1D1=600.
在Rt△A1O1E中, ∠O1A1E=∠C1A1D1=600.∴A1E=,
∵,∴,∴.
∴OO1=3t=.
(3)如答圖2,
①當(dāng)直線AC與⊙O第一次相切時,設(shè)移動時間為t1.如位置一,此時⊙O移動到⊙O2的位置,矩形ABCD移動到A2B2C2D2的位置.
設(shè)⊙O2與直線l1、A2C2分別相切于點(diǎn)F、G, 連接O2F、O2G、O2A2,
∴O2F⊥l1、O2G⊥A2C2.
又由(2)可得∠C2A2D2=600于,∴∠GA2F=1200.∴∠O2A2F=600.
在Rt△O2A2F中,O2F=2,∴A2F=.
∵OO2=3t1, ,∴,解得.
②當(dāng)點(diǎn)O1,A1,C1恰好在同一直線上時為位置二,設(shè)移動時間為t2.由(2)可得.
③當(dāng)直線AC與⊙O第二次相切時,設(shè)移動時間為t3.如位置3,由題意知,從位置一到位置二所用時間與位置二到位置三所用時間相等.
∴,即,解得.
綜上所述,當(dāng)d<2時,t的取值范圍為<t<.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC 與BD 交于O,AC=BD.
求證:(1)BC=AD;
(2)△OAB是等腰三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】點(diǎn)A(3,﹣5)向上平移4個單位,再向左平移3個單位到點(diǎn)B,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為( 。
A.(1,﹣8)B.(1,﹣2)C.(﹣7,﹣1)D.(0,﹣1)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn),且與正比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn),與x軸相交于點(diǎn)
(1)求m的值及一次函數(shù)的表達(dá)式.
(2)求△BOC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分10分)
觀察思考
某種在同一平面進(jìn)行傳動的機(jī)械裝置如圖14-1,圖14-2是它的示意圖.其工作原理是:滑塊Q在平直滑道l上可以左右滑動,在Q滑動的過程中,連桿PQ也隨之運(yùn)動,并且PQ帶動連桿OP繞固定點(diǎn)O擺動.在擺動過程中,兩連桿的接點(diǎn)P在以OP為半徑的⊙O上運(yùn)動.?dāng)?shù)學(xué)興趣小組為進(jìn)一步研究其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識,過點(diǎn)O作OH ⊥l于點(diǎn)H,并測得OH = 4分米,PQ = 3分米,OP = 2分米.
解決問題
(1)點(diǎn)Q與點(diǎn)O間的最小距離是 分米;點(diǎn)Q與點(diǎn)O間的最大距離是 分米;點(diǎn)Q在l上滑到最左端的位置與滑到最右端位置間的距離是 分米.
(2)
如圖14-3,小明同學(xué)說:“當(dāng)點(diǎn)Q滑動到點(diǎn)H的位置時,PQ與⊙O是相切的.”你認(rèn)為他的判斷對嗎?為什么?
(3)①小麗同學(xué)發(fā)現(xiàn):“當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到OH上時,點(diǎn)P到l的距離最。”事實(shí)上,還存在著點(diǎn)P到l距離最大的位置,此時,點(diǎn)P到l的距離是 分米;
②當(dāng)OP繞點(diǎn)O左右擺動時,所掃過的區(qū)域?yàn)樯刃危筮@個扇形面積最大時圓心角的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,以AB為直徑的⊙O分別于BC,AC相交于點(diǎn)D,E,BD=CD,過點(diǎn)D作⊙O的切線交邊AC于點(diǎn)F.
(1)求證:DF⊥AC;
(2)若⊙O的半徑為5,∠CDF=30°,求長(結(jié)果保留π).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在邊長為a的正方形的一角減去一個邊長為的小正方形(a>b),如圖①
① ②
(1)由圖①得陰影部分的面積為 .
(2)沿圖①中的虛線剪開拼成圖②,則圖②中陰影部分的面積為 .
(3)由(1)(2)的結(jié)果得出結(jié)論: = .
(4)利用(3)中得出的結(jié)論計算:20172-20162
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