Question

【題目】已知：∠MON=α，點P是∠MON角平分線上一點，點A在射線OM上，作∠APB=180°-α，交直線ON于點B，PC⊥ON于C.

（1）如圖1，若∠MON=90°時，求證：PA=PB；

（2）如圖2，若∠MON=60°時，寫出線段OB，OA及BC之間的數量關系，并說明理由；

（3）如圖3，若∠MON=60°時，點B在射線ON的反向延長線上時，（2）中結論還成立嗎？若不成立，直接寫出線段OB，OA及BC之間的數量關系（不需要證明）.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）OA=OB+2BC，理由見解析；（3）不成立，OA=2BC-OB.

【解析】試題分析：（1）作PD⊥OM于點D．由角平分線的性質得到PC=PD．再用ASA證明△APD≌△BPC，即可得到結論；．

（2）結論：OA=OB+2BC．作PD⊥OM于點D．同（1），可證△APD≌△BPC，得到AD=BC．

由△OPD≌△OPC，得到OC=OD，即可得到結論；

（3）不成立，OA=2BC-OB．

試題解析：解：（1）作PD⊥OM于點D．

∵點P在∠MON的角平分線上，且PC⊥ON于C，∴PC=PD．

∵∠MON=90°，∴∠APB=90°，∠CPD=90°，∴∠APD=∠BPC．

又∵∠PDA=∠PCB=90°，∴△APD≌△BPC（ASA），∴AP=BP．

（2）結論：OA=OB+2BC．理由如下：

作PD⊥OM于點D．同（1），可證△APD≌△BPC，∴AD=BC．

由△OPD≌△OPC，得OC=OD，∴OA-AD=OB+BC，得OA=OB+2BC．

（3）不成立，OA=2BC-OB．