Question

【題目】已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3，
問(wèn)題1：如圖1，P為AB邊上的一點(diǎn)，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，請(qǐng)問(wèn)對(duì)角線(xiàn)PQ，DC的長(zhǎng)能否相等，為什么？
問(wèn)題2：如圖2，若P為AB邊上一點(diǎn)，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，請(qǐng)問(wèn)對(duì)角線(xiàn)PQ的長(zhǎng)是否存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出最小值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
問(wèn)題3：若P為AB邊上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)PD到E，使DE=PD，再以PE，PC為邊作平行四邊形PCQE，請(qǐng)?zhí)骄繉?duì)角線(xiàn)PQ的長(zhǎng)是否也存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出最小值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
問(wèn)題4：如圖3，若P為DC邊上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)PA到E，使AE=nPA（n為常數(shù)），以PE、PB為邊作平行四邊形PBQE，請(qǐng)?zhí)骄繉?duì)角線(xiàn)PQ的長(zhǎng)是否也存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出最小值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】解：?jiǎn)栴}1：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E， ∵梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC
∴四邊形ABED是矩形，
∴DE=AB=2，BE=AD=1，
∴CE=BC﹣BE=2，
∴DC=2 ，
∵四邊形PCQD是平行四邊形，
若對(duì)角線(xiàn)PQ、DC相等，則四邊形PCQD是矩形，
設(shè)PB=x，則AP=2﹣x，
在Rt△DPC中，PD2+PC2=DC2 ， 即x2+32+（2﹣x）2+1=8，
化簡(jiǎn)得x2﹣2x+3=0，
∵△=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，
∴方程無(wú)解，
∴對(duì)角線(xiàn)PQ與DC不可能相等．
問(wèn)題2：如圖2，在平行四邊形PCQD中，設(shè)對(duì)角線(xiàn)PQ與DC相交于點(diǎn)G，
則G是DC的中點(diǎn)，
過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于H，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH，
∵PD∥CQ，
∴∠PDC=∠DCQ，
∴∠ADP=∠QCH，
又∵PD=CQ，
∴Rt△ADP≌Rt△HCQ，
∴AD=HC，
∵AD=1，BC=3，
∴BH=4，
∴當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，PQ的長(zhǎng)最小，即為4．
問(wèn)題3：如圖2′，設(shè)PQ與DC相交于點(diǎn)G，
∵PE∥CQ，PD=DE，
∴ = = ，
∴G是DC上一定點(diǎn)，
作QH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于H，
同理可證∠ADP=∠QCH，
∴Rt△ADP∽R(shí)t△HCQ，
即 = = ，
∴CH=2，
∴BH=BC+CH=3+2=5，
∴當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，PQ的長(zhǎng)最小，即為5．
問(wèn)題4：如圖3，設(shè)PQ與AB相交于點(diǎn)G，連接DG

∵PE∥BQ，AE=nPA，
∴ = ，
∴G是AB上一定點(diǎn)，
∵四邊形PBQE是平行四邊形，
∴ = =
∴當(dāng)GP最小時(shí)，QP有最小值
在△GDP中，當(dāng)GP⊥CD時(shí)，GP最小，
當(dāng)PQ垂直于CD時(shí)，P點(diǎn)在CD的延遲線(xiàn)上，
∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，GP取最小值，
∴QPmin=QD
∵AB=2
∴AG= ，
∴DG= = ，
∴QD= DG= = ，
∴QPmin=QD= ，
故對(duì)角線(xiàn)PQ的最小值為 ．


【解析】問(wèn)題1：四邊形PCQD是平行四邊形，若對(duì)角線(xiàn)PQ、DC相等，則四邊形PCQD是矩形，然后利用矩形的性質(zhì)，設(shè)PB=x，可得方程x2+32+（2﹣x）2+1=8，由判別式△＜0，可知此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，即對(duì)角線(xiàn)PQ，DC的長(zhǎng)不可能相等； 問(wèn)題2：在平行四邊形PCQD中，設(shè)對(duì)角線(xiàn)PQ與DC相交于點(diǎn)G，可得G是DC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于H，易證得Rt△ADP≌Rt△HCQ，即可求得BH=4，則可得當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，PQ的長(zhǎng)最小，即為4；
問(wèn)題3：設(shè)PQ與DC相交于點(diǎn)G，PE∥CQ，PD=DE，可得 = = ，易證得Rt△ADP∽R(shí)t△HCQ，繼而求得BH的長(zhǎng)，即可求得答案；
問(wèn)題4：設(shè)PQ與AB相交于點(diǎn)G，連接DG，由平行四邊形PBQE得 = ，可知G為定點(diǎn)，由△GDP性質(zhì)可知點(diǎn)D、P重合時(shí)GP最小，即GP最小為DP．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了求根公式和勾股定理的概念的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根2、當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相同的實(shí)數(shù)根3、當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題．