Question

【題目】閱讀下列材料:

問題：如圖1，在平行四邊形ABCD中,E是AD上一點(diǎn)，AE=AB，∠EAB=60°，過點(diǎn)E作直線EF，在EF上取一點(diǎn)G.使得∠EGB=∠EAB,連接AG.

求證:EG=AG+BG.

小明同學(xué)的思路是:作∠CAM=∠EAB交CE于點(diǎn)H，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理解決問題.

參考小明同學(xué)的思路，探究并解決下列問題:

(1)完成上面問題中的證明；

(2)如果將原問題中的“∠EAB=60°”改為“∠EAB=90°”，原問題中的其它條件不變(如圖2),請(qǐng)?zhí)骄烤�段EC、AG、BG之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

解:線段EG、AG、BG之間的數(shù)量關(guān)系為___________________________________________________.證明:

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）EG+BG=AG，證明詳見解析.

【解析】

（1）作∠GAH=∠EAB交GE于點(diǎn)H,證△ABG≌OAEH，再證ΔACH是等邊三角形，得AG=HG ，EG=AG+BG；（2）作∠GAH=∠EAB交GE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則∠GAB=∠HAE，證ΔABG≌ΔAEH，得BG=EH,AG=AH，再證ΔAGH是等腰直角三角形，可得AG=HG.故EG+BG=AG.

(1)證明:如圖1,作∠GAH=∠EAB交GE于點(diǎn)H,

則∠GAB=∠HAE.

∵∠EAB=∠EGB,∠AOE=∠BOF,

∴∠ABG=∠AEH

在ΔABG和ΔAEH中

所以△ABG≌OAEH

∴BG=EH,AG=AH

∵∠GAH=∠EAB=60°

∴ΔACH是等邊三角形

∴AG=HG.

∴EG=AG+BG

(2)EG+BG=AG

證明：

如圖2，作∠GAH=∠EAB交GE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則∠GAB=∠HAE

∵∠EGB=∠EAB=90°

∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°

∴∠ABG=∠AEH.

在ΔABG和ΔAEH中

∴ΔABG≌ΔAEH

∴BG=EH,AG=AH

∵∠GAH=∠EAB=90°

ΔAGH是等腰直角三角形

∴AG=HG

∴EG+BG=AG