【題目】如圖,直線l:y=﹣x+1與x軸,y軸分別交于A,B兩點,點P,Q是直線l上的兩個動點,且點P在第二象限,點Q在第四象限,∠POQ=135°.

(1)求△AOB的周長;

(2)設(shè)AQ=t>0,試用含t的代數(shù)式表示點P的坐標(biāo);

(3)當(dāng)動點P,Q在直線l上運動到使得△AOQ與△BPO的周長相等時,記tan∠AOQ=m,若過點A的二次函數(shù)y=ax2+bx+c同時滿足以下兩個條件:

①6a+3b+2c=0;

②當(dāng)m≤x≤m+2時,函數(shù)y的最大值等于,求二次項系數(shù)a的值.

【答案】(1) △AOB周長為2+(2) P(﹣,1+).(3) a的值為或﹣2﹣2.

【解析】

試題分析:(1)先求出A、B坐標(biāo),再求出OB、OA、AB即可解決問題.(2)由△PBO∽△OAQ,得=,求出PB,再根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)可以求得點P坐標(biāo).(3)先求出m的值,分①a>0,②a<0,兩種情形,利用二次函數(shù)性質(zhì)分別求解即可.

試題解析:(1)在函數(shù)y=﹣x+1中,令x=0,得y=1,

∴B(0,1),

令y=0,得x=1,

∴A(1,0),

則OA=OB=1,AB=,

∴△AOB周長為1+1+=2+

(2)∵OA=OB,

∴∠ABO=∠BAO=45°,

∴∠PBO=∠QAO=135°,

設(shè)∠POB=x,則∠OPB=∠AOQ=135°﹣x﹣90°=45°﹣x,

∴△PBO∽△OAQ,

=,

∴PB==

過點P作PH⊥OB于H點,

則△PHB為等腰直角三角形,

∵PB=,

∴PH=HB=

∴P(﹣,1+).

(3)由(2)可知△PBO∽△OAQ,若它們的周長相等,則相似比為1,即全等,

∴PB=AQ,

=t,

∵t>0,

∴t=1,

同理可得Q(1+,﹣),

∴m==﹣1,

∵拋物線經(jīng)過點A,

∴a+b+c=0,

又∵6a+3b+2c=0,

∴b=﹣4a,c=3a,

對稱軸x=2,取值范圍﹣1≤x+1,

①若a>0,則開口向上,

由題意x=﹣1時取得最大值=2+2,

即(﹣1)2a+(﹣1)b+c=2+2,

解得a=

②若a<0,則開口向下,

由題意x=2時取得最大值2+2,

即4a+2b+c=2+2,

解得a=﹣2﹣2.

綜上所述所求a的值為或﹣2﹣2.

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