【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A(﹣3,0)、B(5,0)、C(0,5)三點,O為坐標原點

(1)求此拋物線的解析式;

(2)若把拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)向下平移個單位長度,再向右平移n(n>0)個單位長度得到新拋物線,若新拋物線的頂點M在△ABC內,求n的取值范圍;

(3)設點P在y軸上,且滿足∠OPA+∠OCA=∠CBA,求CP的長.

【答案】(1)y=﹣x2+x+5;(2)0<n<3;(3)PC的長為7或17.

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)A、B、C三點的坐標,利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式即可;(2)可先求得拋物線的頂點坐標,再利用坐標平移,可得平移后的坐標為(1+n,1),再由B、C兩點的坐標可求得直線BC的解析式,可求得y=1時,對應的x的值,從而可求得n的取值范圍;(3)當點P在y軸負半軸上和在y軸正半軸上兩種情況,根據(jù)這兩種情況分別求得PC的長即可.

試題解析:(1)把A、B、C三點的坐標代入函數(shù)解析式可得

解得,

∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+5;

(2)∵y=﹣x2+x+5,

∴拋物線頂點坐標為(1,),

∴當拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)向下平移個單位長度,再向右平移n(n>0)個單位長度后,得到的新拋物線的頂點M坐標為(1+n,1),

設直線BC解析式為y=kx+m,把B、C兩點坐標代入可得,解得,

∴直線BC的解析式為y=﹣x+5,

令y=1,代入可得1=﹣x+5,解得x=4,

∵新拋物線的頂點M在△ABC內,

∴1+n<4,且n>0,解得0<n<3,

即n的取值范圍為0<n<3;

(3)當點P在y軸負半軸上時,如圖1,過P作PD⊥AC,交AC的延長線于點D,

由題意可知OB=OC=5,

∴∠CBA=45°,

∴∠PAD=∠OPA+∠OCA=∠CBA=45°,

∴AD=PD,

在Rt△OAC中,OA=3,OC=5,可求得AC=,

設PD=AD=m,則CD=AC+AD=+m,

∵∠ACO=∠PCD,∠COA=∠PDC,

∴△COA∽△CDP,

,即,

得m=,PC=17;

可求得PO=PC﹣OC=17﹣5=12,

如圖2,在y軸正半軸上截取OP′=OP=12,連接AP′,

則∠OP′A=∠OPA,

∴∠OP′A+∠OCA=∠OPA+∠OCA=∠CBA,

∴P′也滿足題目條件,此時P′C=OP′﹣OC=12﹣5=7,

綜上可知PC的長為7或17.

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