Question

13．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，拋物線y=ax²-ax+6與x軸負(fù)半軸交于點A，與x軸的正半軸交于點B，且AB=7．
（1）如圖1，求a的值；
（2）如圖2，點P在第一象限內(nèi)拋物線上，過P作PH∥AB，交y軸于點H，連接AP，交OH于點F，設(shè)HF=d，點P的橫坐標(biāo)為t，求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍；
（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)PH=2d時，將射線AP沿著x軸翻折交拋物線于點M，在拋物線上是否存在點N，使∠AMN=45°，若存在，求出點N的坐標(biāo)．若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對稱軸x=$\frac{1}{2}$，以及AB=7，可得A（-3，0），B（4，0），利用待定系數(shù)法即可求出a的值．
（2）由拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+6，設(shè)P（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{1}{2}$t+6），由PH∥OA，HF=d，OF=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{1}{2}$t+6-d，PH=t，OA=3，得到$\frac{FH}{OF}$=$\frac{PH}{OA}$，列出方程即可解決問題．
（3）首先求出直線AM的解析式，利用方程組求得點M的坐標(biāo)，分兩種情形討論①如圖3中，將線段MA繞點M順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MG，過點A作y軸的平行線，過點M作x軸的平行線，兩直線交于點E，作GD⊥EM交EM的延長線于D．易知△AME≌△MGD，推出AE=DM=4，EM=DG=8，推出G（9，4），取線段AG的中點T（3，2），作直線MT交拋物線于N₁，此時∠AMN₁=45°，求出直線MT的解析式利用方程組求出交點N的坐標(biāo)．②設(shè)點G關(guān)于直線AM的對稱點為G₁，則G₁（1，-12），取AG₁的中點T₁，作直線MT₁交拋物線于N₂，則∠N₂MA=45°，求出直線MT₁的解析式，利用方程組即可求出點N₁的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²-ax+6與x軸負(fù)半軸交于點A，與x軸的正半軸交于點B，且AB=7，
又∵對稱軸x=-$\frac{-a}{2a}$=$\frac{1}{3}$，
∴A（-3，0），B（4，0），
把（-3，0）代入y=ax²-ax+6得a=-$\frac{1}{2}$．

（2）由拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+6，設(shè)P（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{1}{2}$t+6），
∵PH∥OA，HF=d，OF=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{1}{2}$t+6-d，PH=t，OA=3，
∴$\frac{FH}{OF}$=$\frac{PH}{OA}$，
∴$\fracluylp7h{-\frac{1}{2}{t}^{2}+\frac{1}{2}t+6-d}$=$\frac{t}{3}$，
∴d=$\frac{-\frac{1}{2}（{t}^{2}-t-12）}{t+3}$•t=-$\frac{1}{2}{t}^{2}$+2t（0＜t＜4）．

（3）∵t=PH=2d，
∴d=$\frac{t}{2}$，
∴$\frac{t}{2}$=-$\frac{1}{2}$t²+2t，
解得t=3或0（舍棄），
∴P（3，3），點P關(guān)于x軸的對稱點K（3，-3），
∴直線AM的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+6}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
∵A（-3，0），
∴M（5，-4），
如圖3中，將線段MA繞點M順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MG，過點A作y軸的平行線，過點M作x軸的平行線，兩直線交于點E，作GD⊥EM交EM的延長線于D．
易知△AME≌△MGD，∴AE=DM=4，EM=DG=8，
∴G（9，4），
取線段AG的中點T（3，2），作直線MT交拋物線于N₁，此時∠AMN₁=45°，
∵直線MT的解析式為y=-3x+11，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x+11}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+6}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=5}\end{array}\right.$，
∵M(jìn)（5，-4），
∴N₁（2，5）．
設(shè)點G關(guān)于直線AM的對稱點為G₁，則G₁（1，-12），取AG₁的中點T₁，作直線MT₁交拋物線于N₂，則∠N₂MA=45°，
∵直線MT₁的解析式為y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{17}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x-\frac{17}{3}}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+6}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{14}{3}}\\{y=-\frac{65}{9}}\end{array}\right.$，
∵M(jìn)（5，-4），
∴N₂（-$\frac{14}{3}$，-$\frac{65}{9}$）．
綜上所述，滿足條件的點M的坐標(biāo)為（2，5）或（-$\frac{14}{3}$，-$\frac{65}{9}$）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、二元二次方程組等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會構(gòu)建一次函數(shù)，利用方程組確定兩個函數(shù)的交點坐標(biāo)，學(xué)會構(gòu)造特殊三角形解決實際問題，屬于中考壓軸題．