Question

【題目】如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，把沿軸對(duì)折，點(diǎn)落到點(diǎn)處，過(guò)點(diǎn)、的拋物線與直線交于點(diǎn)、．

（1）求直線和拋物線的解析式；

（2）在直線上方的拋物線上求一點(diǎn)，使面積最大，求出點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）在第一象限內(nèi)的拋物線上，是否存在一點(diǎn)，作垂直于軸，垂足為點(diǎn)，使得以、、為項(xiàng)點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，或．

【解析】

(1)由直線可以求出A，B的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式和直線BD的解析式；

(2)先求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，作EF∥y軸交直線BD于F，設(shè)，利用三角形面積公式求得，再利用二次函數(shù)性質(zhì)即可求得答案；

(3)如圖1，2，分類討論，當(dāng)△BOC∽△MON或△BOC∽△ONM時(shí)，由相似三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論；

(1)∵直線AB為，

令y=0，則，令，則y=2，

∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是：A (-1，0)，B(0，2)，

根據(jù)對(duì)折的性質(zhì)：點(diǎn)C的坐標(biāo)是：(1，0) ，

設(shè)直線BD解析式為，

把B(0，2)，C(1，0)代入，得，

解得：，，

∴直線BD解析式為，

把A(-1，0)，B(0，2)代入得，

解得：，，

∴拋物線的解析式為；

(2)解方程組得：和，

∴點(diǎn)D坐標(biāo)為(3，-4) ，

作EF∥y軸交直線BD于F

設(shè)

∴

(0＜＜3)

∴當(dāng)時(shí)，三角形面積最大，

此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為：；

(3)存在．

∵點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是B (0，2)、C (1，0)，

∴，，

①如圖1所示，

當(dāng)△MON∽△BCO時(shí)，

∴，即，

∴，

設(shè)，則，

將代入拋物線的解析式得：

解得：(不合題意，舍去)，，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，2)；

②如圖2所示，

當(dāng)△MON∽△CBO時(shí)，

∴，即，

∴MN=ON，

設(shè)，則M(b，b)，

將M(b，b)代入拋物線的解析式得：

∴

解得：(不合題意，舍去)，，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)，

∴存在這樣的點(diǎn)或．