Question

【題目】已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，在BC上取一點(diǎn)O，以O(shè)為圓心、OB為半徑作圓，且⊙O過(guò)A點(diǎn)．

（Ⅰ）如圖①，若⊙O的半徑為5，求線(xiàn)段OC的長(zhǎng)；
（Ⅱ）如圖②，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，求 的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠B=30°，
∴∠AOC=30°+30°=60°，
∴∠OAC=90°，
∵OA=5，
∴OC=2AO=10．
（Ⅱ）連接OD，

∵∠AOC=60°，AD∥BC，
∴∠DAO=∠AOC=60°，
∵OD=OA，
∴∠ADO=60°，
∴∠DOB=∠ADO=60°，
∵OD=OB，
∴△DOB是等邊三角形，
∴BD=OB=OA，
在Rt△OAC中，OC=2BD，由勾股定理得：AC= BD，
∴ = ．
【解析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理，證得∠OAC=90°，利用30度角的性質(zhì)求出OC=2AO=10；（2）連接半徑，構(gòu)造出等邊三角形△DOB，進(jìn)而B(niǎo)D轉(zhuǎn)化為OA,利用三角函數(shù)，求出BD:AC=1:.