Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，在⊙O上取點D，連接CD，使得AC=CD，延長CD交直線AB于點E．

(1)求證：CD是⊙O的切線．

(2)若AC=2，AE=6．

①求⊙O的半徑．

②點M是優(yōu)弧上的一個動點（不與B，D重合），求MD，MB及弧BD圍成的陰影部分面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①⊙O的半徑為2，②π＋2

【解析】

（1）連結(jié)OD，OC．根據(jù)SSS可證△CAO≌△CDO，得∠ODC=∠OAC=90°，則CD是 O的切線；
（2）①由（1）的結(jié)論可以得到CD=CA，再依據(jù)勾股定理可以求得 O的半徑為2；
②面積可看成兩部分，三角形DMB跟弧DB的面積，弧DB不變，三角形面積為底DB乘以高除以2，當(dāng)M運動到優(yōu)弧的中點時，陰影部分的面積最大，可求得最大值．

(1)證明：連接OD，OC，如圖．

∵AC是⊙O的切線，

∴∠CAB＝90°，

在△CAO和△CDO中

，

∴△CAO≌△CDO.

∴∠CAO＝∠CDO＝90°，

∴CD⊥OD，

∴CD是⊙O的切線．

(2)解： ①∵AC＝2，AE＝6，

∴根據(jù)勾股定理得：CE＝4，

又∵AC＝CD，∴DE＝2，

∴∠CEA＝30°，

∴tan∠CEA＝＝，

∴OD＝2.

∴⊙O的半徑為2.

②∵圖中陰影部分的面積可看成兩部分，△DMB的面積和弓形DB的面積，

∵弧DB不變，∴三角形底邊DB不變，

當(dāng)M運動到優(yōu)弧的中點，高最大，即面積最大．

由(1)及第(2)①得：∠DOB＝60°，當(dāng)M運動到優(yōu)弧的中點時，此時高經(jīng)過圓心且垂直于DB，所以高的值為2＋，　

又△DOB是等邊三角形，∴DB＝OB＝2，

∴S△DBM＝×2×(2＋)＝2＋，

又因為S弓形DB＝S扇形ODB－S△ODB＝－＝－，

∴圖中陰影部分的面積為：S＝S弓形DB＋S△DBM＝π＋2.