【題目】在等邊△ABC中

(1)如圖1,P,Q是BC邊上的兩點,AP=AQ,∠BAP=20°,求∠AQB的度數(shù);

(2)點P,Q是BC邊上的兩個動點(不與點B,C重合),點P在點Q的左側(cè),且AP=AQ,點Q關(guān)于直線AC的對稱點為M,連接AM,PM.

①依題意將圖2補全;

②小茹通過觀察、實驗提出猜想:在點P,Q運動的過程中,始終有PA=PM,小茹把這個猜想與同學(xué)們進行交流,通過討論,形成了證明該猜想的幾種想法:

想法1:要證明PA=PM,只需證△APM是等邊三角形;

想法2:在BA上取一點N,使得BN=BP,要證明PA=PM,只需證△ANP≌△PCM;

想法3:將線段BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段BK,要證PA=PM,只需證PA=CK,PM=CK…

請你參考上面的想法,幫助小茹證明PA=PM(一種方法即可).

【答案】(1)40°;(2)作圖見解析;證明見解析

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠APQ=∠AQP,由鄰補角的定義得到∠APB=∠AQC,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論;

(2)根據(jù)要求作出圖形,如圖2

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠APQ=∠AQP,由鄰補角的定義得到∠APB=∠AQC,由點Q關(guān)于直線AC的對稱點為M,得到AQ=AM,∠OAC=∠MAC,等量代換得到∠MAC=∠BAP,推出△APM是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

試題解析:(1)∵AP=AQ,∴∠APQ=∠AQP,∴∠APB=∠AQC,∵△ABC是等邊三角形,∴∠B=∠C=60°,∴∠BAP=∠CAQ=20°,∴∠PAQ=∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ=60°﹣20°﹣20°=20°,∴∠BAQ=∠BAP+∠PAQ=40°;

(2)如圖2

∵AP=AQ,∴∠APQ=∠AQP,∴∠APB=∠AQC,∵△ABC是等邊三角形,∴∠B=∠C=60°,∴∠BAP=∠CAQ,∵點Q關(guān)于直線AC的對稱點為M,∴AQ=AM,∠QAC=∠MAC,∴∠MAC=∠BAP,∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°,∴∠PAM=60°,∵AP=AQ,∴AP=AM,∴△APM是等邊三角形,∴AP=PM.

練習(xí)冊系列答案
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1)已知點A的坐標(biāo)為(1,0).

若點B的坐標(biāo)為(31)求點A,B相關(guān)矩形的面積;

C在直線x=3上,若點A,C相關(guān)矩形為正方形,求直線AC的表達(dá)式;

2O的半徑為,點M的坐標(biāo)為(m,3).若在O上存在一點N,使得點M,N相關(guān)矩形為正方形,求m的取值范圍.

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小天、小東、小蕓各自對該小區(qū)家庭5月份用氣量情況進行了抽樣調(diào)查,將收集的數(shù)據(jù)進行了整理,繪制的統(tǒng)計表分別為表1、表2和表3

1 抽樣調(diào)查小區(qū)4戶家庭5月份用氣量統(tǒng)計表 (單位:

2 抽樣調(diào)查小區(qū)15戶家庭5月份用氣量統(tǒng)計表 (單位:

3 抽樣調(diào)查小區(qū)15戶家庭5月份用氣量統(tǒng)計表 (單位:

根據(jù)以上材料回答問題:

小天、小東和小蕓三人中,哪一位同學(xué)抽樣調(diào)查的數(shù)據(jù)能較好地反映出該小區(qū)家庭5月份用氣量情況,并簡要說明其他兩位同學(xué)抽樣調(diào)查地不足之處.

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