【題目】等邊三角形ABC的邊長為6,在AC,BC邊上各取一點E,F(xiàn),連接AF,BE相交于點P.
(1)若AE=CF;
①求證:AF=BE,并求∠APB的度數;
②若AE=2,試求APAF的值;
(2)若AF=BE,當點E從點A運動到點C時,試求點P經過的路徑長.
【答案】(1)①見解析;②12;(2)或3.
【解析】
試題分析:(1)①證明△ABE≌△CAF,借用外角即可以得到答案;②利用勾股定理求得AF的長度,再用平行線分線段成比例定理或者三角形相似定理求得的比值,即可以得到答案.
(2)當點F靠近點C的時候點P的路徑是一段弧,由題目不難看出當E為AC的中點的時候,點P經過弧AB的中點,此時△ABP為等腰三角形,繼而求得半徑和對應的圓心角的度數,求得答案.點F靠近點B時,點P的路徑就是過點B向AC做的垂線段的長度;
(1)①證明:∵△ABC為等邊三角形,
∴AB=AC,∠C=∠CAB=60°,
又∵AE=CF,
在△ABE和△CAF中,
,
∴△ABE≌△CAF(SAS),
∴AF=BE,∠ABE=∠CAF.
又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP,
∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°.
∴∠APB=180°﹣∠APE=120°.
②∵∠C=∠APE=60°,∠PAE=∠CAF,∴△APE∽△ACF,
∴,即,所以APAF=12
(2)若AF=BE,有AE=BF或AE=CF兩種情況.
①當AE=CF時,點P的路徑是一段弧,由題目不難看出當E為AC的中點的時候,點P經過弧AB的中點,此時△ABP為等腰三角形,且∠ABP=∠BAP=30°,
∴∠AOB=120°,
又∵AB=6,
∴OA=,
點P的路徑是.
②當AE=BF時,點P的路徑就是過點C向AB作的垂線段的長度;因為等邊三角形ABC的邊長為6,所以點P的路徑為:.
所以,點P經過的路徑長為或3.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某公司銷售一種產品,每件產品的成本價、銷售價及月銷售量如表;為了獲取更大的利潤,公司決定投入一定的資金做促銷廣告,結果發(fā)現(xiàn):每月投入的廣告費為x萬元,產品的月銷售量是原銷售量的y倍,且y與x的函數圖象為如圖所示的一段拋物線.
成本價(元/件) | 銷售價(元/件) | 銷售量(萬件/月) |
2 | 3 | 9 |
(1)求y與x的函數關系式為 ,自變量x的取值范圍為 ;
(2)已知利潤等于銷售總額減去成本費和廣告費,要使每月銷售利潤最大,問公司應投入多少廣告費?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】下列各式能用平方差公式計算的是( )
A. (2x+y)(2y+x) B. (x+1)(-x﹣1) C. (-x﹣y)(-x+y) D. (3x-y)(-3x+y)
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D為AC邊上一點,連接BD,AF⊥BD于點F,點E在BF上,連接AE,∠EAF=45°;
(1)如圖1,EM∥AB,分別交AF、AD于點Q、M,求證:FD=FQ;
(2)如圖2,連接CE,AK⊥CE于點K,交DE于點H,∠DEC=30°,HF=,求EC的長.
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