Question

已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射線CA上截取線段CE，在射線AB上截取線段BD，連接DE，DE所在直線交直線BC與點(diǎn)M。請(qǐng)?zhí)骄浚?/p>

（1）如圖（１），當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上，點(diǎn)D在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，若BD=CE，請(qǐng)判斷線段MD和線段ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

（2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，若BD=CE，則（１）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，說(shuō)明理由；

（3）如圖（3），當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在線段AB上（點(diǎn)D不與A，B重合），DE所在直線與直線BC交于點(diǎn)M，若CE＝２BD，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段MD與線段ME的數(shù)量關(guān)系。

Answer 1

（1）DM=EM．理由見(jiàn)解析；（2）成立，理由見(jiàn)解析；（3）MD=ME．

【解析】

試題分析：（1）DM=EM；過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交BC于點(diǎn)F，然后利用平行線的性質(zhì)和已知條件可以證明△DBM≌△EFM，接著利用全等三角形的性質(zhì)即可證明題目的結(jié)論；

（2）成立；過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，然后利用平行線的性質(zhì)與已知條件可以證明△DBM≌△EFM，接著利用全等三角形的性質(zhì)即可證明題目的結(jié)論；

（3）MD=ME．過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，然后利用平行線的性質(zhì)和已知條件得到△DBM∽△EFM，接著利用相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

試題解析：（1）DM=EM；（1分）

證明：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交BC于點(diǎn)F，（2分）

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C；

又∵EF∥AB，

∴∠ABC=∠EFC，

∴∠EFC=∠C，

∴EF=EC．

又∵BD=EC，

∴EF=BD．

又∵EF∥AB，

∴∠ADM=∠MEF．

在△DBM和△EFM中

，

∴△DBM≌△EFM，

∴DM=EM．

（2）成立；

證明：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C；

又∵EF∥AB，

∴∠ABC=∠EFC，

∴∠EFC=∠C，

∴EF=EC．

又∵BD=EC，

∴EF=BD．

又∵EF∥AB，

∴∠ADM=∠MEF．

在△DBM和△EFM中

∴△DBM≌△EFM；

∴DM=EM；

（3）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，

∴△DBM∽△EFM，

∴BD：EF=DM：ME，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵∠F=∠ABC，

∴∠F=∠C，

∴EF=EC，

∴BD：EC=DM：ME=1：2，

∴MD=ME．

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)．