Question

【題目】如圖，在△ABC的一邊AB上有一點P．

（1）能否在另外兩邊AC和BC上各找一點M、N，使得△PMN的周長最短．若能，請畫出點M、N的位置，若不能，請說明理由；

（2）若∠ACB=40°，在（1）的條件下，求出∠MPN的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析.（2）100°.

【解析】

（1）如圖：作出點P關(guān)于AC、BC的對稱點D、G，然后連接DG交AC、BC于兩點，標注字母M、N；
（2）根據(jù)對稱的性質(zhì)，易求得∠C+∠EPF=180°，由∠ACB=48°，易求得∠D+∠G=48°，即而求得答案．

解：（1）①作出點P關(guān)于AC、BC的對稱點D、G，
②連接DG交AC、BC于兩點，
③標注字母M、N；

（2）∵PD⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=90°，
∴∠C+∠EPF=180°，
∵∠C=40°，
∴∠EPF=140°，
∵∠D+∠G+∠EPF=180°，
∴∠D+∠G=40°，
由對稱可知：∠G=∠GPN，∠D=∠DPM，
∴∠GPN+∠DPM=40°，
∴∠MPN=140°-40°=100°．