Question

【題目】如圖1，直線y=﹣ x+n交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C（0，4），拋物線y= x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B（0，﹣2）．點(diǎn)P為拋物線上一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線PD，過點(diǎn)B作BD⊥PD于點(diǎn)D，連接PB，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)△BDP為等腰直角三角形時(shí)，求線段PD的長；
（3）如圖2，將△BDP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△BD′P′，且旋轉(zhuǎn)角∠PBP′=∠OAC，當(dāng)點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)P′落在坐標(biāo)軸上時(shí)，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點(diǎn)C（0，4）在直線y=﹣ x+n上，

∴n=4，

∴y=﹣ x+4，

令y=0，

∴x=3，

∴A（3，0），

∵拋物線y= x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B（0，﹣2）．

∴c=﹣2，6+3b﹣2=0，

∴b=﹣ ，

∴拋物線解析式為y= x2﹣ x﹣2

（2）

解：點(diǎn)P為拋物線上一個(gè)動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

∴P（m， m2﹣ m﹣2），

∴BD=|m|，PD=| m2﹣ m﹣2+2|=| m2﹣ m|，

∵△BDP為等腰直角三角形，且PD⊥BD，

∴BD=PD，

∴|m|=| m2﹣ m|，

∴m=0（舍），m= ，m= ，

∴PD= 或PD=

（3）

解：∵∠PBP'=∠OAC，OA=3，OC=4，

∴AC=5，

∴sin∠PBP'= ，cos∠PBP'= ，

①當(dāng)點(diǎn)P'落在x軸上時(shí)，過點(diǎn)D'作D'N⊥x軸，垂足為N，交BD于點(diǎn)M，

∠DBD'=∠ND'P'=∠PBP'，

如圖1，

ND'﹣MD'=2，

∴ （ m2﹣ m）﹣（﹣ m）=2，

∴m= （舍），或m=﹣ ，

如圖2，

ND'+MD'=2，

∴ （ m2﹣ m）+ m=2，

∴m= ，或m=﹣ （舍），

∴P（﹣ ， ）或P（ ， ），

②當(dāng)點(diǎn)P'落在y軸上時(shí)，如圖3，

過點(diǎn)D′作D′M⊥x軸，交BD于M，過P′作P′N⊥y軸，

∴∠DBD′=∠ND′P′=∠PBP′，

∵P′N=BM，

∴ （ m2﹣ m）= m，

∴m= ，

∴P（ ， ）．

∴P（﹣ ， ）或P（ ， ）或P（ ， ）

【解析】（1）先確定出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）由△BDP為等腰直角三角形，判斷出BD=PD，建立m的方程計(jì)算出m，從而求出PD；
（3）分點(diǎn)P′落在x軸和y軸兩種情況計(jì)算即可．