【題目】如圖,以等邊△ABC的邊BC為直徑作⊙O,分別交AB、AC于點D、E,過點D作DF⊥AC交AC于點F.
(1)求證:DF是⊙O的切線;
(2)若等邊△ABC的邊長為8,求圖中陰影部分的面積.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)連接、,先利用等腰三角形的性質(zhì)證,再證為的中位線得,根據(jù)可得;
(2)連接、作,求出、的長及的度數(shù),根據(jù)陰影部分面積計算可得.
(1)證明:連接OD、CD
∵DF⊥AC
∴∠AFD=90°.
∵BC是⊙O的直徑
∴∠CDB=90°
∴CD⊥AB.
又∵△ABC是等邊三角形
∴BD=AD
∵OB=OC
∴OD是△ABC的中位線
∴OD//AC
∴∠FDO=∠AFD=90°
∴OD⊥DF
∴DF是⊙O的切線
(2)連接OE,作OG⊥AC于G則∠OGF=∠GFD=∠FDO=90°
∴四邊形ODFG是矩形
∴OD=FG=
又∵OB=OD=OE=OC,∠B=∠ACB=60°
∴△OBD、△OCE是等邊三角形
∴∠BOD=∠COE=60°,CE=OC=4.
∴∠DOE=60°,EG=
∴
∴
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【題目】如圖,拋物線的圖像經(jīng)過點A(4,4),B(5,0)和原點O,點P為拋物線上的一個動點,過點P作x軸的垂線,垂足為D(m,0)(m>0),并與直線OA交于點C.
(1)求出拋物線的函數(shù)表達式;
(2)連接OP,當S△OPC=S△OCD時,求出此時的點P坐標;
(3)在直線OA上取一點M,使得以P、C、M為頂點的三角形與△OCD全等,求出點M的坐標.
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【題目】如圖,E是的斜邊AB上一點,以AE為直徑的與邊BC相切于點D,交邊AC于點F,連結(jié)AD.
(1)求證:AD平分.
(2)若,,求的長.
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【題目】如圖,點為的斜邊的中點,,,以點為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)得到,若,當時,圖中弧所構(gòu)成的陰影部分面積為().
A.B.C.D.
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【題目】問題發(fā)現(xiàn):(1)如圖1,在等腰直角三角形中,,點為的中點,點為上一點,將射線順時針旋轉(zhuǎn)交于點,則與的數(shù)量關(guān)系為____;
問題探究:(2)如圖2,在等腰三角形中,,點為的中點,點為上一點,將射線順時針旋轉(zhuǎn)交于點,則與的數(shù)量關(guān)系是否改變,請說明理由;
問題解決:(3)如圖3,點為正方形對角線的交點,點為的中點,點為直線上一點,將射線順時針旋轉(zhuǎn)交直線于點,若,當面積為時,直接寫出線段的長.
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【題目】為了解游客對某景區(qū)的滿意度,特對游客采取隨機抽樣的方式進行問卷調(diào)查,調(diào)查的結(jié)果分為A,B,C,D四類,其含意依次表示為“非常滿意”、“比較滿意”、“基本滿意”和“不太滿意”,劃分類別后的數(shù)據(jù)整理如表1(不完整).
(1)求表中的數(shù)據(jù)a和b.
(2)如果根據(jù)表中頻數(shù)畫扇形統(tǒng)計圖,那么類別為B的頻數(shù)所對應(yīng)的扇形圓心角是幾度?
(3)已知該景區(qū)每日游客限流3000名,估計一天的游客中類別C的游客人數(shù).
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【題目】如圖,將邊長分別為10cm和4cm的矩形紙片沿著虛線剪成兩個全等的梯形紙片.裁剪線與矩形較長邊所夾的銳角是45°,則梯形紙片中較短的底邊長為( 。
A.2cmB.2.5cmC.3cmD.3.5cm
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【題目】如圖1,在△ABC中,D是AB上一點,已知AC=10,AC2=AD·AB.
(1)證明△ACD∽△ABC.
(2)如圖2,過點C作CE∥AB,且CE=6,連結(jié)DE交BC于點F;
①若四邊形ADEC是平行四邊形,求的值;
②設(shè)AD=x,=y,求y關(guān)于x的函數(shù)表達式.
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【題目】如圖,正方形的邊長是9,點是邊上的一個動點,點是邊上一點,,連接,把正方形沿折疊,使點,分別落在點,處,當點落在線段上時,線段的長為__________.
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