Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A，B，C，已知點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)C（0，3）．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）P為線段BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)D，當(dāng)△BDC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)E是拋物線上的一點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使得A，C，E，F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）P（，）．（3）存在．F1（1，0），F2（2+，0），F3（2﹣，0），F4（﹣3，0）

【解析】

（1）根據(jù)拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)C（0，3），可以用待定系數(shù)法求得拋物線的表達(dá)式；

（2）根據(jù)函數(shù)的解析式可以求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而可以求得直線BC的解析式，設(shè)出點(diǎn)P、D的坐標(biāo)從而可以表示出△BDC的面積，從而可以得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)題意可知AC可能為平行四邊形的邊，也可能為對(duì)角線，從而可以分為兩種情況分別求得點(diǎn)F的坐標(biāo)．

（1）∵點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)C（0，3）在拋物線y＝＋bx＋c上，

∴

解得b＝2，c＝3．

即拋物線的表達(dá)式是；

（2）令 ，解得＝1， ＝3，

∵點(diǎn)A（1，0），

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．

設(shè)過點(diǎn)B、C的直線的解析式為：y＝kx＋b

，

解得k＝1，b＝3．

∴過點(diǎn)B、C的直線的解析式為：y＝x＋3．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，a＋3），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a， ），

∴PD＝（）（a＋3）＝．

∴S△BDC＝S△PDC＋S△PDB

＝PDa＋PD(3a)

＝ ( )a＋ ()(3a)

＝ ．

∴當(dāng)a＝時(shí)，△BDC的面積最大，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．

（3）存在．

當(dāng)AC是平行四邊形的邊時(shí)，則點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為3或3，

∵E是拋物線上的一點(diǎn)，

∴將y＝3代入 ，得＝0（舍去），＝2；

將y＝3代入，得 ＝1＋ ， ．

∴（2，3），（1＋，3），（，3），

則點(diǎn)（1，0），（2＋，0），（2，0），

當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，則點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為3，

∵E是拋物線上的一點(diǎn)，

∴將y＝3代入，得＝0（舍去），＝2；

即點(diǎn)（2，3）．

則（3，0）．

點(diǎn)F的坐標(biāo)是：（1，0），（2＋，0），（2，0），（3，0）．