【題目】如圖,直線AB和拋物線的交點是A(0,-3)B(5,9),已知拋物線的頂點D的橫坐標(biāo)是2.

(1)求拋物線的解析式及頂點坐標(biāo);

(2)軸上是否存在一點C,與A,B組成等腰三角形?若存在,求出點C的坐標(biāo),若不存在,請說明理由;

(3)在直線AB的下方拋物線上找一點P,連接PAPB使得△PAB的面積最大,并求出這個最大值.

【答案】1,頂點D2,);(2C0)或(,0)或(0);(3

【解析】

(1)拋物線的頂點D的橫坐標(biāo)是2,則x2,拋物線過A(0,﹣3),則:函數(shù)的表達式為:y=ax2+bx﹣3,把B點坐標(biāo)代入函數(shù)表達式,即可求解;

(2)分AB=AC、AB=BC、AC=BC,三種情況求解即可;

(3)由SPABPHxB,即可求解.

(1)拋物線的頂點D的橫坐標(biāo)是2,則x2,拋物線過A(0,﹣3),則:函數(shù)的表達式為:y=ax2+bx﹣3,把B點坐標(biāo)代入上式得:9=25a+5b﹣3,聯(lián)立解得:a,b,c=﹣3,∴拋物線的解析式為:yx2x﹣3.

當(dāng)x=2時,y,即頂點D的坐標(biāo)為(2,);

(2)A(0,﹣3),B(5,9),則AB=13,設(shè)點C坐標(biāo)(m,0),分三種情況討論:

當(dāng)AB=AC時,則:(m2+(﹣3)2=132,解得:m=±4,即點C坐標(biāo)為:(4,0)或(﹣4,0);

當(dāng)AB=BC時,則:(5﹣m2+92=132,解得:m=5,即:點C坐標(biāo)為(5,0)或(5﹣2,0);

當(dāng)AC=BC時,則:5﹣m2+92=(m2+(﹣3)2,解得:m=,則點C坐標(biāo)為(,0).

綜上所述:存在,點C的坐標(biāo)為:(±4,0)或(5,0)或(,0);

(3)過點Py軸的平行線交AB于點H.設(shè)直線AB的表達式為y=kx﹣3,把點B坐標(biāo)代入上式,9=5k﹣3,則k,故函數(shù)的表達式為:yx﹣3,設(shè)點P坐標(biāo)為(m,m2m﹣3),則點H坐標(biāo)為(mm﹣3),SPABPHxBm2+12m)=-6m2+30m=,當(dāng)m=時,SPAB取得最大值為:

答:△PAB的面積最大值為

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(2)直接寫出當(dāng)x>0時,不等式x+b的解集;

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1)求反比例函數(shù)的表達式;

2)根據(jù)圖象直接寫出﹣x的解集;

3)將直線l1y=- x沿y向上平移后的直線l2與反比例函數(shù)y在第二象限內(nèi)交于點C,如果△ABC的面積為30,求平移后的直線l2的函數(shù)表達式.

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