Question

【題目】如圖是一塊含30°（即∠CAB=30°）角的三角板和一個(gè)量角器拼在一起，三角板斜邊AB與量角器所在圓的直徑MN重合，其量角器最外緣的讀數(shù)是從N點(diǎn)開始（即N點(diǎn)的讀數(shù)為0），現(xiàn)有射線CP繞著點(diǎn)C從CA順時(shí)針以每秒2度的速度旋轉(zhuǎn)到與△ACB外接圓相切為止．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，射線CP與量角器的半圓弧交于E．

(1)當(dāng)射線CP與△ABC的外接圓相切時(shí)，求射線CP旋轉(zhuǎn)度數(shù)是多少？

(2)當(dāng)射線CP分別經(jīng)過(guò)△ABC的外心、內(nèi)心時(shí)，點(diǎn)E處的讀數(shù)分別是多少？

(3)當(dāng)旋轉(zhuǎn)7.5秒時(shí)，連接BE，求證：BE=CE．

Answer 1

【答案】(1)射線CP旋轉(zhuǎn)度數(shù)是120°；(2)E處的讀數(shù)為90；(3)證明見(jiàn)解析.

【解析】

(1) 連接OC. 根據(jù)切線的性質(zhì), 得∠OCP=, 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),得∠ACO=∠A, 從而求得射線CP旋轉(zhuǎn)度數(shù)；

(2) 當(dāng)CP過(guò)△ABC外心時(shí) (即過(guò)O點(diǎn))時(shí),∠BCE=, 根據(jù)圓周角定理, 則點(diǎn)E處的讀數(shù)是;當(dāng)CP過(guò)△ABC的內(nèi)心時(shí), 即CP平分∠ACB, 則∠BCE=, 根據(jù)圓周角定理,則點(diǎn)E處的讀數(shù)是.

(3) 根據(jù)已知, 知旋轉(zhuǎn)了, 即可求得∠EBC=∠BCE=, 從而證明結(jié)論.

(1)連接OC．

∵射線CP與△ABC的外接圓相切，

∴∠OCP=90°，

∵OA=OC，

∴∠ACO=∠A=30°，

∴射線CP旋轉(zhuǎn)度數(shù)是120°；

(2)

∵∠BCA=90°，

∴△ABC的外接圓就是量角器所在的圓．

當(dāng)CP過(guò)△ABC外心時(shí)（即過(guò)O點(diǎn)），∠BCE=60°，

∴∠BOE=120°，即E處的讀數(shù)為120，

當(dāng)CP過(guò)△ABC的內(nèi)心時(shí)，∠BCE=45°，∠EOB=90°，

∴E處的讀數(shù)為90．

(3)在圖2中，

∵∠PCA=2×7.5°=15°，∠BCE=75°，∠ECA=∠EBA=15°，

∴∠EBC=∠EBA+∠ABC=∠BCE=75°，

∴BE=EC．