【題目】如圖,已知一次函數(shù)y=2x+2的圖象與y軸交于點B,與反比例函數(shù)y=的圖象的一個交點為A(1,m),過點BAB的垂線BD,與反比例函數(shù)y=(x0)的圖象交于點D(n,﹣2).

(1)k1k2的值分別是多少?

(2)直線AB,BD分別交x軸于點C,E,若Fy軸上一點,且滿足△BDF∽△ACE,求點F的坐標.

【答案】(1)4,-16;(2)F的坐標為(0,﹣8).

【解析】(1)將A坐標代入一次函數(shù)解析式中求出m的值,確定出A的坐標,將A坐標代入反比例函數(shù)y=中即可求出k1的值;過A作AM垂直于y軸,過D作DN垂直于y軸,可得出一對直角相等,再由AC垂直于BD,利用同角的余角相等得到一對角相等,利用兩對對應角相等的兩三角形相似得到△ABM與△BDN相似,由相似得比例,求出DN的長,確定出D的坐標,代入反比例函數(shù)y=中即可求出k2的值;
(2)在y軸上存在一個點F,使得△BDF∽△ACE,此時F(0,-8),理由為:由y=2x+2求出C坐標,由OB=ON=2,DN=8,可得出OE為△BDN的中位線,求出OE的長,進而利用勾股定理求出AE,CE,AC,BD的長,以及∠EBO=∠ACE=∠EAC,若△BDF∽△ACE,得到比例式,求出BF的長,即可確定出此時F的坐標。

1)∵點A1,m)在一次函數(shù)y=2x+2的圖象上,∴m=2+2=4,

∵點A1,4)在反比例函數(shù)y=的圖象上,∴k1=1×4=4

BDAB,∴∠BCE+∠BEC=90°,∵∠OCB+∠OBC=90°,∴∠BEC=OBC,

∴△BEC∽△OBC,∴

∵已知一次函數(shù)y=2x+2的圖象與y軸交于點B,與x軸交于點C,

B0,2),C(﹣10),∴BC==OB=2,OC=1,∴CE==5,

E4,0).設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b,則有,解得:

∴直線BD的解析式為y=x+2.∵點Dn,﹣2)在直線BD上,

∴﹣2=n+2,解得:n=8,∵點D8,﹣2)在反比例函數(shù)y=x0)的圖象上,

k2=8×(﹣2=16

2)∵A1,4),C(﹣1,0),E4,0),∴CE=4﹣(﹣1=5,AE==5,

AC==2,∴∠EAC=ECA

∵∠EBO+∠CBO=90°,∠CBO+∠BCO=90°,∴∠EBO=BCO=EAC=DBF,

∴點F在點B的下方.設(shè)點F0t),B0,2),D8,﹣2),

BF=2tBD==4.∵△BDF∽△ACE,∴,

BF=2t==10,解得:t=8

∴當Fy軸上一點,且滿足△BDF∽△ACE時,點F的坐標為(0,﹣8).

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