【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣2經(jīng)過點A(1,0)和點B(4,0),與y軸交于點C.
附:閱讀材料
法國弗朗索瓦韋達最早發(fā)現(xiàn)一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系為:兩根之和等于一次項系數(shù)與二次項系數(shù)之比的相反數(shù),兩根之積等于常數(shù)項羽二次項系數(shù)之比,人們稱之為韋達定理.
即:設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1、x2 , 則:x1+x2=﹣ ,x1x2= 能靈活運用韋達定理,有時可以使解題更為簡單.

(1)求拋物線的解析式;
(2)以點A為圓心,作于直線BC相切的⊙A,求⊙A的面積;
(3)將直線BC向下平移n個單位后與拋物線交于點M、N,且線段MN=2CB,求直線MN的解析式及平移距離.

【答案】
(1)

解:設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣1)(x﹣4),

即y=ax2﹣5ax+4a,

∴4a=﹣2,解得a=﹣

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+ x﹣2;


(2)

解:作AD⊥BC于D,如圖,當(dāng)x=0時,y=﹣ x2+ x﹣2=﹣2,則C(0,﹣2),

BC= =2 ;

∵∠ABD=∠CBO,

∴Rt△BAD∽Rt△BCO,

= ,即 = ,

∴AD= ,

∵直線BC相切的⊙A,

∴AD為⊙A的半徑,

∴⊙A的面積=π( 2= π;


(3)

解:設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m,

把B(4,0),C(0,﹣2)代入得 ,解得 ,

∴直線BC的解析式為y= x﹣2,

設(shè)直線MN的解析式為y= x+t,M(x1,y1),N(x2,y2),

則x1、x2為方程﹣ x2+ x﹣2= x+2t的兩根,

方程整理為x2﹣4x+2t+4=0,

∴x1+x2=4,x1x2=2t+4,

∵y1﹣y2= x1+t﹣( x2+t)= (x1﹣x2),

∴MN= = = = = ,

∵MN=2CB,

=4 ,解得t=﹣8,

∴直線MN的解析式為y= x﹣8,

∴將直線BC向下平移6個單位得到直線MN,即平移的距離為6.


【解析】(1)設(shè)交點式y(tǒng)=a(x﹣1)(x﹣4),即y=ax2﹣5ax+4a,然后利用4a=﹣2求出a即可得到拋物線解析式;(2)作AD⊥BC于D,如圖,先確定C(0,﹣2),計算出BC=2 ,再證明Rt△BAD∽Rt△BCO,利用相似比可計算出AD= ,然后利用切線的性質(zhì)得到圓的半徑為AD,再利用圓的面積公式求解;(3)先利用待定系數(shù)法確定直線BC的解析式為y= x﹣2,則可設(shè)直線MN的解析式為y= x+t,M(x1 , y1),N(x2 , y2),利用兩函數(shù)的交點問題得到x1、x2為方程﹣ x2+ x﹣2= x+2t的兩根,利用根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=4,x1x2=2t+4,則y1﹣y2= (x1﹣x2),接著利用兩點間的距離公式和完全平方公式得到MN= = ,所以 =4 ,解方程得到t的值,從而得到直線MN的解析式,然后利用直線平移的規(guī)律確定平移的距離.
【考點精析】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系和確定一次函數(shù)的表達式的相關(guān)知識點,需要掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系數(shù)a、b、c而定;兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù);兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商;確定一個一次函數(shù),需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(k不等于0)中的常數(shù)k和b.解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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(1)分別求出A與C及B與C的距離AC、BC(結(jié)果保留根號)
(2)已知在燈塔D周圍100海里范圍內(nèi)有暗礁群,我在A處海監(jiān)船沿AC前往C處盤查,圖中有無觸礁的危險?
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(2)當(dāng)點N在AB邊上時,將△AMN沿MN翻折得到
△A′MN,如圖2,
①若點A′落在AB邊上,則線段AN的長度為
②當(dāng)點A′落在對角線AC上時,如圖3,求證:四邊形AM A′N是菱形;
③當(dāng)點A′落在對角線BD上時,如圖4,求 的值.

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