Question

【題目】在圖1﹣﹣圖4中，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為3，∠A=60°，點(diǎn)M是AD邊上一點(diǎn)，且DM= AD，點(diǎn)N是折線AB﹣BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）如圖1，當(dāng)N在BC邊上，且MN過對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)時(shí)，則線段AN的長(zhǎng)度為 ．
（2）當(dāng)點(diǎn)N在AB邊上時(shí)，將△AMN沿MN翻折得到
△A′MN，如圖2，
①若點(diǎn)A′落在AB邊上，則線段AN的長(zhǎng)度為 ；
②當(dāng)點(diǎn)A′落在對(duì)角線AC上時(shí)，如圖3，求證：四邊形AM A′N是菱形；
③當(dāng)點(diǎn)A′落在對(duì)角線BD上時(shí)，如圖4，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）

①1

②在菱形ABCD中，∠A=60°，

∴∠DAC=∠BAC=30°，

∵點(diǎn)A′落在對(duì)角線AC上，

∴MN⊥AC，

∴∠AMN=∠ANM=60°，

∴AM=AN，

由折疊的性質(zhì)可知，AM=AN=A′M=A′N，

∴四邊形AM A′N是菱形；

③∠A′=∠A=60°，

∴∠BA′N+∠DA′M=120°，又∠DMA′+∠DA′M=120°，

∴∠BA′N=∠DMA′，又∠A′DM=∠NBA′，

∴△A′DM∽△NBA′，

∴ = = =2．

【解析】解：（1）作NH⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于H，
∵AD=3，
∴DM= AD=1，AM=2，
∵菱形的中心對(duì)稱圖形，MN過對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，
∴BN=DM=1，
∵∠DAB=60°，
∴∠NBH=60°，
∴BH= BN= ，NH= BN= ，
∴AN= = ，
故答案為： ；
⑵①∵點(diǎn)A′落在AB邊上，
∴MN⊥AA′，
∴AN= AM=1，
故答案為：1；
（1）作NH⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于H，根據(jù)題意求出DM、AM，根據(jù)菱形的中心對(duì)稱圖形得到BN=DM=1，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出BH、NH，根據(jù)勾股定理計(jì)算；（2）①根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算；②根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、菱形的判定定理進(jìn)行證明；③證明△A′DM∽△NBA′，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．