4.如圖,拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點A(-5,0),B(1,0),直線l:y=$\frac{3}{4}$x+3與y軸交于點C,與x軸交于點D.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點P是x軸上方拋物線上對稱軸左側(cè)一動點,過點P分別作PE∥x軸交拋物線于點E,作PF⊥l交于點F,若PF=EP,求點P的坐標;
(3)如圖,拋物線頂點為G點,連接CG、DG,設(shè)拋物線對稱軸與直線CD、x軸的交點為N、Q,以AQ、NQ為邊作矩形AQNM.現(xiàn)將矩形AQNM沿直線GQ平移得到矩形A′Q′N′M′,設(shè)矩形A′Q′N′M′與△CDG的重疊部分面積為T,當3S△N'CD=5S△N'CO時,求T的值.

分析 (1)根據(jù)待定系數(shù)法求得即可;
(2)過點P作x軸的垂線交直線CD于點G,設(shè)P(m,-m2-4m+5),G(m,$\frac{3}{4}$m+3),得出PG=(-m2-4m+5)-($\frac{3}{4}$m+3)=-m2-$\frac{19}{4}$m+2,根據(jù)對稱軸求得PE=-4-2m,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠PGF=∠OCD,通過解直角三角形得出sin∠OCD=$\frac{OD}{CD}$=$\frac{4}{5}$,得出sin∠PGF=$\frac{PF}{PG}$=$\frac{4}{5}$,根據(jù)PF=EP得出-4-2m=$\frac{4}{5}$(-m2-$\frac{19}{4}$m+2),解得m的值,即可求得P的坐標;
(3)由題意得${S_{△N'CO}}=\frac{1}{2}×CO×OQ=3$,${S_{△N'CD}}=\frac{1}{2}×NN'×OD=2NN'$,∵根據(jù)S△N'CD=5S△N'CO,得出6NN′=15,求得NN′=$\frac{5}{2}$,根據(jù)N的坐標即可得出N'(-2,4)或N'(-2,-1),然后分兩種情況討論即可求得.

解答 解:(1)∵拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點A(-5,0),B(1,0),
∴$\left\{\begin{array}{l}{-25-5b+c=0}\\{-1+b+c=0}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=5}\end{array}\right.$,
∴拋物線的解析式y(tǒng)=-x2-4x+5;
(2)如圖1,過點P作x軸的垂線交直線CD于點G,設(shè)P(m,-m2-4m+5),G(m,$\frac{3}{4}$m+3),
∵拋物線對稱軸x=$\frac{-5+1}{2}$=-2,故PE=-4-2m,
∵PG=(-m2-4m+5)-($\frac{3}{4}$m+3)=-m2-$\frac{19}{4}$m+2,
∵直線l:y=$\frac{3}{4}$x+3與y軸交于點C,與x軸交于點D.
∴C(0,3),D(-4,0),
∴OC=3,OD=4,
∴CD=$\sqrt{O{C}^{2}+O{D}^{2}}$=5,
∴sin∠OCD=$\frac{OD}{CD}$=$\frac{4}{5}$,
∵PG∥OC,
∴∠PGF=∠OCD,
∵PF⊥l交于點F,
∴sin∠PGF=$\frac{PF}{PG}$=$\frac{4}{5}$,
∴$PF=\frac{4}{5}PG=\frac{4}{5}(-{m^2}-\frac{19}{4}m+2)$,
∵PE=PF,
∴-4-2m=$\frac{4}{5}$(-m2-$\frac{19}{4}$m+2),解得m1=-4,m2=$\frac{7}{4}$(舍去),
∴P(-4,5);
(3)由題意得${S_{△N'CO}}=\frac{1}{2}×CO×OQ=3$,${S_{△N'CD}}=\frac{1}{2}×NN'×OD=2NN'$,
把x=-2代入y=$\frac{3}{4}$x+3得,y=$\frac{3}{2}$,
∴N(-2,$\frac{3}{2}$),
∵3S△N'CD=5S△N'CO,
∴6NN′=15,
∴NN′=$\frac{5}{2}$,
∴N'(-2,4)或N'(-2,-1),
當N'(-2,4)時,
∵y=-x2-4x+5=-(x+2)2+9,
∴拋物線頂點G(-2,9),
∴GN′=9-4=5,
∵D(-4,0),Q(-2,0),
∴DQ=2,
∵M′N′∥OA,
∴$\frac{HN′}{DQ}$=$\frac{GN′}{GQ}$,即$\frac{HN′}{2}$=$\frac{5}{9}$,
∴HN′=$\frac{10}{9}$,
同理,SQ′=$\frac{13}{9}$,
∴T=($\frac{10}{9}$+$\frac{13}{9}$)×$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{23}{12}$;
當N'(-2,-1)時,T=0.

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題,考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,一次函數(shù)圖象上點的坐標特征,直角三角函數(shù),平移的性質(zhì),平行線分線段成比例定理以及梯形的面積等,(2)求得sin∠PGF=$\frac{PF}{PG}$=$\frac{4}{5}$是解題的關(guān)鍵.

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把以上三個等式兩邊分別相加得:$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$
(1)猜想并寫出:$\frac{1}{{n({n+1})}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$.
(2)規(guī)律應(yīng)用:計算:$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$
(3)拓展提高:計算:$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{2006×2008}$.

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(1)請用含x的代數(shù)式表示兩家商店的付款.
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