Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)A，拋物線的頂點(diǎn)為D，B（﹣3，0），A（0，）

（1）求拋物線解析式及D點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）如圖1，P為線段OB上（不與O、B重舍）一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線交線段AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N，點(diǎn)N作NK⊥BA交BA于點(diǎn)K，當(dāng)△MNK與△MPB的面積相等時(shí)，在X軸上找一動(dòng)點(diǎn)Q，使得CQ+QN最小時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)及CQ+QN最小值；

（3）如圖2，在（2）的條件下，將△ODN沿射線DN平移，平移后的對(duì)應(yīng)三角形為△O′D′N′，將△AOC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到A1OC1的位置，且點(diǎn)C1恰好落在AC上，△A1D′N′是否能為等腰三角形，若能求出N′的坐標(biāo)，若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+；頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，）；（2）Q（﹣1，0），最小值為3；（3）N′的坐標(biāo)為（﹣，）或（﹣，）．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法以及頂點(diǎn)坐標(biāo)公式即可解決問題．

（2）如圖1中，設(shè)P（m，0）則N（m，﹣m2﹣m+）．由△NMK∽△BMN，又△MNK與△MPB的面積相等，推出△NMK≌△BMN，推出MN＝BM，在Rt△ABO中，tan∠ABO＝＝，推出∠ABO＝30°，推出BM＝2PM＝MN，可得﹣m2﹣m+﹣m+＝2（m+），解得m＝﹣2或﹣3（舍棄），推出N（﹣2，），

在y軸上取一點(diǎn)F，使得∠OCF＝30°，作QH⊥CF于H，因?yàn)?/span>QH＝CQ，所以NQ+CQ＝NQ+QH，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)N、Q、H共線，且NH⊥CF時(shí)，NQ+CQ＝NQ+QH的值最�。�由此即可解決問題．

（3）首先求出點(diǎn)A′的坐標(biāo)，再證明A′N⊥DN，分三種情形討論即可．①如圖3中，當(dāng)A′D′＝A′N′時(shí)．②如圖4中，當(dāng)N′D′＝N′A′時(shí)．③如圖5中，延長(zhǎng)C′A′交DG于N′，此時(shí)△D′N′A′是等腰三角形．

解：（1）把B（﹣3，0），A（0，）的坐標(biāo)代入y＝﹣x2+bx+c，得到，

解得，

∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2﹣x+，

頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，）．

（2）如圖1中，設(shè)P（m，0）則N（m，）．

∵A（0，），B（﹣3，0），

∴直線AB的解析式為y＝x+，AB用PN的交點(diǎn)M（m，m+），

∵∠NMK＝∠BMP，∠NKM＝∠MPB＝90°，

∴△NMK∽△BMN，

∵△MNK與△MPB的面積相等，

∴△NMK≌△BMN，

∴MN＝BM，

在Rt△ABO中，tan∠ABO＝＝，

∴∠ABO＝30°，

∴BM＝2PM＝MN，

∴﹣m2﹣m+﹣m+＝2（m+），

解得m＝﹣2或﹣3（舍棄），

∴N（﹣2，），

在y軸上取一點(diǎn)F，使得∠OCF＝30°，作QH⊥CF于H，

∵QH＝CQ，

∴NQ+CQ＝NQ+QH，

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)N、Q、H共線，且NH⊥CF時(shí)，NQ+CQ＝NQ+QH的值最�。�

∵直線CF的解析式為y＝x﹣，直線NH的解析式為y＝﹣x﹣，

∴Q（﹣1，0），

由，解得，

∴H（﹣，﹣），

∴NH＝＝3，

∴NQ+CQ＝NQ+QH的最小值為3．

（3）如圖2中，

在Rt△AOC中，∵OA＝，OC＝1，AC＝2，

∴tan∠ACO＝，

∴∠ACO＝60°，

∵OC′＝OC，

∴△COC′是等邊三角形，

∴∠A′C′C＝∠C′OC＝60°，

∴A′C′∥OC，

∴A′（﹣，），

∵N（﹣2，），D（﹣1，），

∴直線DN的解析式為y＝x+，直線A′N的解析式y＝﹣x﹣，

∵×（﹣）＝﹣1，

∴AN⊥DN，設(shè)直線DN交x軸于G，則G（﹣5，0），對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E（﹣1，0），

在Rt△DGE中，tan∠DGE＝，

∴∠DGE＝30°．

①如圖3中，當(dāng)A′D′＝A′N′時(shí)，易知ND′＝NN′，A′N＝1，ND′＝NN′＝，易證△A′N′D′是等邊三角形，可得N′（﹣，）．

②如圖4中，當(dāng)N′D′＝N′A′時(shí)，∵A′N＝1，DN＝，

在Rt△A′N′N中，A′N′＝N′D′＝，A′N＝1，NN′＝，易證△A′N′D′是等邊三角形，

∴N′（﹣，）．

③如圖5中，延長(zhǎng)C′A′交DG于N′，此時(shí)△D′N′A′是等腰三角形．

理由：作D′K⊥C′N′于K，易知N′（﹣，），

∴A′N′＝2，

在Rt△D′N′K中，∵∠D′N′K＝30°，D′N′＝，

∴D′K＝，KN′＝1，

∴KA′＝A′N′﹣N′K＝2﹣1＝1，

在Rt△A′D′K中，A′D′＝＝，

∴D′N′＝D′A′，

∴△A′D′N′是等腰三角形，

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)N′的坐標(biāo)為（﹣，）或（﹣，）時(shí)，△A′D′N′是等腰三角形．