Question

【題目】如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．連接，，，．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）的面積何時(shí)最大？求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)和最大面積；

（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），面積的最大值為；（3）存在，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（0，3）或（，-3）或（，-3）．

【解析】

（1）令，求出y的值，進(jìn)而得到C點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將拋物線設(shè)成交點(diǎn)式，然后將C點(diǎn)代入即可求出拋物線的解析式；

（2）先通過(guò)待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，然后過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線交直線BC與點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)D（m，），則點(diǎn)H（m，m+3），求出DH的長(zhǎng)度，然后利用和二次函數(shù)的性質(zhì)求出m的值和面積的最大值，進(jìn)而即可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）分兩種情況：①當(dāng)BD是平行四邊形的一條邊時(shí)，利用平行四邊形的性質(zhì)可知N的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為3，然后利用拋物線的解析式即可求出橫坐標(biāo)；②當(dāng)BD是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，利用對(duì)角線中點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出N點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而利用拋物線的解析式即可求出橫坐標(biāo)．

解：（1）令，，

∴．

∵，，

設(shè)拋物線交點(diǎn)式表達(dá)式為：y=a（x+1）（x-2），

將代入得-2a=3，解得：a=，

故拋物線的表達(dá)式為：；

（2）設(shè)直線BC的解析式為

將代入解析式中得

解得

∴直線BC的表達(dá)式為：，

如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線交直線BC與點(diǎn)H，

設(shè)點(diǎn)D（m，），則點(diǎn)H（m，m+3）

∴

∴

=

=，

∴m=1，面積最大，最大為，

當(dāng) 時(shí)，，

∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3）；

（3）m=1時(shí)，D點(diǎn)為（1，3），

①當(dāng)BD是平行四邊形的一條邊時(shí)，

設(shè)點(diǎn)N（n，）

則點(diǎn)N的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為3，

即，

解得：n=0或1（舍去）或，

故點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，3）或（，-3）或（，-3），

②當(dāng)BD是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，

利用平行四邊形對(duì)角線的中點(diǎn)可知N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，

∴此時(shí)N的坐標(biāo)為（0，3）；

故點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（0，3）或（，-3）或（，-3）．