解:(1)過C作CE∥BD交AO于點E,如圖,
∵點C為OB中點,
∴CE為△OBD的中位線,
∴DE=OE,
∵PD∥CE,
∴
=
,
又∵
=
,
∴AD=DO,
∴AD=2DE,
∴
=2;
(2)①過C作CE∥BD交AO于點E,如圖,
∵點C為OB中點,
∴CE為△OBD的中位線,
∴DE=OE,
∵PD∥CE,
∴
=
,
又∵
=
,
∴DO=3AD,
∴2DE=3AD,
∴AD=
DE,
∴
=
;
②設(shè)OB=8a,
∴OA=OB=8a,OC=4a,
AD=2a,DE=OE=3a,
而OA⊥OB,
∴∠COE=90°,
在Rt△OCE中,OC=4a,OE=3a,則CE=
=5a,
∴EC=EA,
∴∠ACE=∠A,
而CE∥BD,
∴∠BPC=∠ACE,
∴∠BPC=∠A;
故答案為
;
(3)過D作DF⊥AC,垂足為F,過C作CE∥BD交AO于點E,如圖,
設(shè)AD=a,則AO=na,OB=2a
,
∵點C為OB中點,
∴CO=a
,
在Rt△ACO中,AC=
=
a,
又∵Rt△ADF∽Rt△ACO,
∴AF:AO=DF:OC=AD:AC,即AF:na=DF:
a=a:
a,
∴AF=
a,DF=
,
又∵PD∥CE,
∴AP:AC=AD:AE,即AP:
a=a:
a,
∴AP=
,
∴PF=AP-AF=
a,
∴tan∠FPD=
=
=
.
∴tan∠BPC=
.
分析:(1)過C作CE∥BD交AO于點E,則CE為△OBD的中位線,得到DE=OE,由PD∥CE,根據(jù)平行線分線段成比例定理得
=
,又
=
得AD=DO,則有AD=2DE,即可得到
=2;
(2)①與(1)不同的是
=
則DO=3AD,得2DE=3AD即AD=
DE,則
=
;②設(shè)OB=8a,則OA=OB=8a,OC=4a,AD=2a,DE=OE=3a,根據(jù)勾股定理得到CE=
=5a,則有EC=EA,得到∠ACE=∠A,而∠BPC=∠ACE,即可得到結(jié)論;
(3)過D作DF⊥AC,垂足為F,過C作CE∥BD交AO于點E,設(shè)AD=a,則AO=na,OB=2a
,由點C為OB中點,則CO=a
,利用勾股定理可計算得AC=
a,易證得Rt△ADF∽Rt△ACO,得到AF:AO=DF:OC=AD:AC,即AF:na=DF:
a=a:
a,求出AF=
a,DF=
,再根據(jù)平行線分線段成比例定理得到AP:AC=AD:AE,即AP:
a=a:
a,求出AP=
,則PF=AP-AF=
a,然后根據(jù)正切的定義即可得到tan∠FPD,從而得到tan∠BPC的值.
點評:本題考查了平行線分線段成比例定理:如果一組平行線被兩條直線所截,那么所截得的線段對應(yīng)成比例.也考查了三角形中位線的性質(zhì)、勾股定理以及銳角三角函數(shù)的定義.