已知:線段OA⊥OB,點(diǎn)C為OB中點(diǎn),D為線段OA上一點(diǎn).連接AC,BD交于點(diǎn)P.
(1)如圖1,當(dāng)OA=OB,且D為OA中點(diǎn)時(shí),求
AP
PC
的值;
(2)如圖2,當(dāng)OA=OB,且
AD
AO
=
1
4
時(shí),求tan∠BPC的值.
(3)如圖3,當(dāng)AD:AO:OB=1:n:2
n
時(shí),直接寫出tan∠BPC的值.
精英家教網(wǎng)
分析:(1)過D作BO的平行線,根據(jù)平行線分線段成比例定理,在△ACO中ED:CO=AD:AO,在△PDE和△PCB中,ED:BC=PE:PC,再根據(jù)C是BO的中點(diǎn),可以求出PE:PC=1:2,再根據(jù)三角形中位線定理,點(diǎn)E是AC的中點(diǎn),利用比例變形即可求出AP與PC的比值等于2;
(2)同(1)的方法,先求出PC=
3
5
AC,再過D作DF⊥AC于F,設(shè)AD為a,利用勾股定理求出AC等于2
5
a,再利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出DF、AF的值,而PF=AC-AF-PC,也可求出,又∠BPC與∠FPD是對(duì)頂角,所以其正切值便可求出.
(3)根據(jù)(2)的方法,把相應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行代換即可求出.
解答:精英家教網(wǎng)
解:(1)過D作DE∥CO交AC于E,
∵D為OA中點(diǎn),
∴AE=CE=
1
2
AC
DE
CO
=
1
2
,
∵點(diǎn)C為OB中點(diǎn),
∴BC=CO,
DE
BC
=
1
2

PE
PC
=
DE
BC
=
1
2
,
∴PC=
2
3
CE
=
1
3
AC
,
AP
PC
=
AC-PC
PC
=
2
3
AC
1
3
AC
=2;

(2)過點(diǎn)D作DE∥BO交AC于E,
AD
AO
=
1
4
,
DE
CO
=
AE
AC
=
1
4
,
∵點(diǎn)C為OB中點(diǎn),
DE
BC
=
1
4
,
PE
PC
=
DE
BC
=
1
4
,
∴PC=
4
5
CE
=
3
5
AC

過D作DF⊥AC,垂足為F,設(shè)AD=a,則AO=4a,
∵OA=OB,點(diǎn)C為OB中點(diǎn),
∴CO=2a,
在Rt△ACO中,AC=
AO2+CO2
=
(4a)2+(2a)2
=2
5
a,
又∵Rt△ADF∽R(shí)t△ACO,
AF
AO
=
DF
CO
=
AD
AC
=
a
2
5
a

∴AF=
2
5
5
a
,DF=
5
5
a
,
PF=AC-AF-PC=2
5
a-
2
5
5
a
-
3
5
×2
5
a
=
2
5
5
a
,
tan∠BPC=tan∠FPD=
DF
PF
=
1
2


(3)與(2)的方法相同,設(shè)AD=a,求出DF=
n+1
n+1
a,
PF=
n2+n
n+1
a,所以tan∠BPC=
n
n
點(diǎn)評(píng):本題難度較大,需要對(duì)平行線分線段成比例定理靈活運(yùn)用,根據(jù)勾股定理構(gòu)造出直角三角形并求出其直角邊的長(zhǎng),準(zhǔn)確作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵,也是求解的難點(diǎn),這就要求同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中對(duì)公式定理要熟練掌握并靈活運(yùn)用,不斷提高自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.
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(1)如圖1,當(dāng)OA=OB,且
AD
AO
=
1
2
時(shí),求
AP
PC
的值;
(2)如圖2,當(dāng)OA=OB,且
AD
AO
=
1
4
時(shí),①
AP
PC
=
2
3
2
3
;②證明:∠BPC=∠A;
(3)如圖3,當(dāng)AD:AO:OB=1:n:2
n
時(shí),直接寫出tan∠BPC的值.

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(1)如圖1,當(dāng)OA=OB,且數(shù)學(xué)公式=數(shù)學(xué)公式時(shí),求數(shù)學(xué)公式的值;
(2)如圖2,當(dāng)OA=OB,且數(shù)學(xué)公式時(shí),①數(shù)學(xué)公式=______;②證明:∠BPC=∠A;
(3)如圖3,當(dāng)AD:AO:OB=1:n:數(shù)學(xué)公式時(shí),直接寫出tan∠BPC的值.

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(1)如圖1,當(dāng)OA=OB,且D為OA中點(diǎn)時(shí),求的值;
(2)如圖2,當(dāng)OA=OB,且時(shí),求tan∠BPC的值.
(3)如圖3,當(dāng)AD:AO:OB=1:n:時(shí),直接寫出tan∠BPC的值.

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