Question

已知：線段OA⊥OB，點C為OB中點，D為線段OA上一點．連接AC，BD交于點P．
（1）如圖1，當OA=OB，且D為OA中點時，求的值；
（2）如圖2，當OA=OB，且時，求tan∠BPC的值．
（3）如圖3，當AD：AO：OB=1：n：時，直接寫出tan∠BPC的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）過D作BO的平行線，根據平行線分線段成比例定理，在△ACO中ED：CO=AD：AO，在△PDE和△PCB中，ED：BC=PE：PC，再根據C是BO的中點，可以求出PE：PC=1：2，再根據三角形中位線定理，點E是AC的中點，利用比例變形即可求出AP與PC的比值等于2；
（2）同（1）的方法，先求出PC=AC，再過D作DF⊥AC于F，設AD為a，利用勾股定理求出AC等于2a，再利用相似三角形對應邊成比例求出DF、AF的值，而PF=AC-AF-PC，也可求出，又∠BPC與∠FPD是對頂角，所以其正切值便可求出．
（3）根據（2）的方法，把相應數據進行代換即可求出．
解答：
解：（1）過D作DE∥CO交AC于E，
∵D為OA中點，
∴AE=CE=，，
∵點C為OB中點，
∴BC=CO，，
∴，
∴PC==，
∴=2；

（2）過點D作DE∥BO交AC于E，
∵，
∴==，
∵點C為OB中點，
∴，
∴，
∴PC==，
過D作DF⊥AC，垂足為F，設AD=a，則AO=4a，
∵OA=OB，點C為OB中點，
∴CO=2a，
在Rt△ACO中，AC===2a，
又∵Rt△ADF∽Rt△ACO，
∴，
∴AF=，DF=，
PF=AC-AF-PC=2a--=，
tan∠BPC=tan∠FPD==．

（3）與（2）的方法相同，設AD=a，求出DF=a，
PF=a，所以tan∠BPC=．
點評：本題難度較大，需要對平行線分線段成比例定理靈活運用，根據勾股定理構造出直角三角形并求出其直角邊的長，準確作出輔助線是解決本題的關鍵，也是求解的難點，這就要求同學們在平時的學習中對公式定理要熟練掌握并靈活運用，不斷提高自己的數學學習能力．