【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CDABH,點(diǎn)G是⊙O上一點(diǎn),AGCD于點(diǎn)K,延長(zhǎng)KD至點(diǎn)E,使KE=GE,分別延長(zhǎng)EG、AB相交于點(diǎn)F.

(1)求證:EF是⊙O的切線;

(2)若ACEF,試探究KG、KD、GE之間的關(guān)系,并說明理由;

(3)在(2)的條件下,若sinE=,AK=2,求FG的長(zhǎng).

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3).

【解析】

(1)連接OG,首先證明∠EGK=∠EKG,再證明∠HAK+∠KGE=90°,進(jìn)而得到∠OGA+∠KGE=90°即GO⊥EF,進(jìn)而證明EF是⊙O的切線;
(2)連接GD,由平行線的性質(zhì)得到相等的角,進(jìn)而根據(jù)相似三角形的判定得到△GKD∽△EKG,然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得證;

(3)連接OG,OC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠E=∠ACH,然后根據(jù)已知的sinE=設(shè)出AH=3t,AC=5t,CH=4t,然后根據(jù)勾股定理求出CH、AH的長(zhǎng),設(shè)⊙O半徑為r,在Rt△OCH中,OC=r,OH=r﹣3,由勾股定理得:OH2+CH2=OC2求出r的值,再由OG的長(zhǎng)和tan∠OFG=tan∠CAH,利用三角函數(shù)在Rt△OGF中計(jì)算出FG的長(zhǎng).

證明:(1)如圖1,連接OG.

∵KE=EG,

∴∠EKG=∠EGK,

∵∠AKH=∠EKG,

∴∠EGK=∠AKH,

∴OA=OG,

∴∠OGA=∠OAK,

∵AB⊥CD,

∴∠AHK=90°,

∴∠AKH+∠OAG=90°,

∴∠OGA+∠EGK=90°,

∴∠OGE=90°,

∴EF⊙O的切線;

(2)KG2=KDGE,理由是:

連接GD,如圖2,

∵AC∥EF,

∴∠C=∠E,

∵∠C=∠AGD,

∴∠E=∠AGD,

∵∠GKD=∠GKD,

∴△GKD∽△EKG,

,

∴KG2=KDEK,

由(1)得:EK=GE,

∴KG2=KDGE;

(3)連接OG,OC,如圖3所示,

∵AC∥EF,

∴∠E=∠ACH,

∵sinE=sin∠ACH=,

設(shè)AH=3t,則AC=5t,CH=4t,

∵KE=GE,AC∥EF,

∴CK=AC=5t,

∴HK=CK﹣CH=t.

Rt△AHK中,根據(jù)勾股定理得AH2+HK2=AK2,

即(3t)2+t2=(22,解得t=±

∴CH=4,AH=3,

設(shè)⊙O半徑為r,在Rt△OCH中,OC=r,OH=r﹣3,

由勾股定理得:OH2+CH2=OC2,

即(r﹣32+(42=r2,解得r=,

∵EF為切線,

∴△OGF為直角三角形,

Rt△OGF中,OG=,tan∠OFG=tan∠CAH===

∴FG==

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知點(diǎn)A13)、B3,-1),利用圖中的“格點(diǎn)”完成下列作圖并解答:

1)在第三象限內(nèi)找“格點(diǎn)”C,使得CA=CB,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是 ;

2)在(1)的基礎(chǔ)上,標(biāo)出“格點(diǎn)”D,使得△DCB≌△ABC,則點(diǎn)D的坐標(biāo)是 ;

3)點(diǎn)Mx軸上一點(diǎn),且MA-MB的值最大,則點(diǎn)M的坐標(biāo)是

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,△ABC為等邊三角形,AECD,ADBE相交于點(diǎn)PBQADQ,PQ3,PE1

1)求證:BEAD

2)求∠BPD的度數(shù);

3)求AD的長(zhǎng).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在△ABC中,DBC的中點(diǎn),DEABEDFACF,BECF.

1)∠B70°,求∠CAD的大小;

2)連接EF,求證:AD垂直平分EF

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】每年的423日被聯(lián)合國(guó)教科文組織確定為世界讀書日.為滿足同學(xué)們的讀書需某校圖書室在今年世界讀書日期間準(zhǔn)備到書店購買文學(xué)名著和科普讀物兩類圖書.已知20本文學(xué)名著和40本科普讀物共需1520元,20本文學(xué)名著比20本科普讀物多440元(注:所采購的文學(xué)名著價(jià)格都一樣,所購買的科普讀物的價(jià)格都一樣).

(1)每本文學(xué)名著和科普讀物各多少元?

(2)若學(xué)校要求購買科普讀物比文學(xué)名著多20本,科普讀物和文學(xué)名著總數(shù)不低于72本,總費(fèi)用不超過2000元,請(qǐng)求出所有符合條件的購書方案.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,海面上甲、乙兩船分別從A,B兩處同時(shí)出發(fā),由西向東行駛,甲船的速度為24n mile/h,乙船的速度為15n mile/h,出發(fā)時(shí),測(cè)得乙船在甲船北偏東50°方向,且AB=10nmile,經(jīng)過20分鐘后,甲、乙兩船分別到達(dá)C,D兩處.

(參考值:sin50°≈0.766,cos50°≈0.643,tan50°≈1.192)

(1)求兩條航線間的距離;

(2)若兩船保持原來的速度和航向,還需要多少時(shí)間才能使兩船的距離最短?(精確到0.01)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,直線y=2x+3與x軸相交于點(diǎn)A,與y軸相交于點(diǎn)B.

(1)求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)過B點(diǎn)作直線BP與x軸相交于P,且使OP=2OA, 求ΔABP的面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖在ABC中,BF、CF是角平分線,DEBC,分別交AB、AC于點(diǎn)DE,DE經(jīng)過點(diǎn)F.結(jié)論:①△BDFCEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE; ③△ADE的周長(zhǎng)=AB+AC;BF=CF.其中正確的是______(填序號(hào))

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知:線段ABBC,

求作:矩形ABCD

老師說甲、乙同學(xué)的作圖都正確. 請(qǐng)你選擇其中一位同學(xué)的作業(yè)說明其作圖依據(jù).

我選擇____同學(xué),他的作圖依據(jù)是:___________________________________________.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案