【題目】已知正方形ABCD,過點B有一條直線1與正方形ABCD的對角線AC所在直線相交于點G,過點C、A分別作直線1的垂線段CE、AF于點EF,對角線AC、BD相交于點O,連接OE、OF

1)如圖1,猜測OE、OF有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并說明理由;

2)若正方形邊長為10

若直線1在如圖1的位置,當時,求EG的長;

若直線1在如圖2的位置,當時,請直接寫出EG的長.

【答案】1OEOF,OE⊥OF.理由見解析;(2①EG;②EG2

【解析】

1)根據(jù)題意設OBAFJ.證明△AFB≌△BECAAS),可得結(jié)論OE=OF,OEOF;

2根據(jù)題意作OHBEH.想辦法證明EH=EC=FH=OH,設EC=a,在RtEBC中,利用勾股定理求出a,再證明EG=GH即可解決問題;

②根據(jù)題意作OHBEH.首先證明OH-EH=HF=2EC,設EC=m,在RtBCE中,利用勾股定理求出m,再證明EG=EH即可解決問題.

解:(1)結(jié)論:OEOFOE⊥OF

理由:如圖1中,設OBAFJ

四邊形ABCD是正方形,

∴ABBC,AC⊥BD,OBOCODOA,∠ABC90°

∴∠BOC90°,

∵CE⊥BEAF⊥BF,

∴∠CEB∠AFB90°

∴∠ABF+∠CBE90°,∠CBE+∠ECB90°

∴∠ABF∠ECB,

∴△AFB≌△BECAAS),

∴CEBF

∵EC⊥BE,AF⊥BE

∴EC∥AF,

∴∠ECO∠OAF,

∵∠OAF+∠AJO90°,∠BJF+∠OBF90°∠AJO∠BJF,

∴∠OAF∠OBF∠OCE,

∴△ECO≌△FBOSAS),

∴OEOF,∠EOC∠FOB,

∴∠EOF∠COB90°,

∴OE⊥OF

2如圖1中,作OH⊥BEH

∵OEOF,∠EOF90°

∴EHFH,

∴OHEHFH

∴OEEH,

∵OECE,

∴ECFHBF,

ECa,則BE3a,

Rt△BCE中,∵BC2CE2+BE2,

∴10a2100

∴a,

∴ECEH,

∵∠CEG∠OHG90°∠EGCOGH,ECOH,

∴△CEG≌△OHGAAS),

∴EGGHEH

如圖2中,作OH⊥BEH

∵OEOF∠EOF90°,

∴EHFH

∴OHEHFH,

∴OEEH,

∵OE2CE

∴EHOHFH2CE,

∵∠AFB∠BEC∠ABC90°,

∴∠ABF+∠CBE90°∠CBE+∠BCE90°,

∴∠ABF∠BCE

∵ABBC,

∴△BEC≌△AFBAAS),

∴ECBF,

∴BFBH,設ECm,則BE3m,

Rt△BCE中,∵BC2CE2+BE2,

∴10m2100,

∴m

∴EC,EH2

∵CE⊥OH,

∴△GEC∽△GHO

,

∴EGGH2

練習冊系列答案
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