【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點C(0,4),點A、B在x軸上,并且OA=OC=4OB,動點P在過A、B、C三點的拋物線上.
(1)求拋物線的函數(shù)表達式;
(2)在直線AC上方的拋物線上,是否存在點P,使得△PAC的面積最大?若存在,求出P點坐標(biāo)及ΔPAC面積的最大值;若不存在,請說明理由.
(3)在x軸上是否存在點Q,使得△ACQ是等腰三角形?若存在,請直接寫出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=x2+3x+4;(2)存在, 當(dāng)P點坐標(biāo)為(2,6)時,ΔPAC面積的最大值是8;(3)Q(0,0),(-4,0),.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)點C的坐標(biāo),即可求得OC的長,再求得點A、B的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式;(2)存在,作PN⊥x軸交AC于N,先求得直線AC的解析式,設(shè)P(x,x2+3x+4),則N(x,-x+4),即可得PN=x2+4x ,根據(jù)三角形的面積公式可得S△PAC=PN×4=-2(x-2)2+8 ,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)x=2時,ΔPAC面積的最大值為8,再求得點P的坐標(biāo)即可;(3)根據(jù)勾股定理求得AC=4,以A為頂點,以AC為腰時,可得AQ=4,此時可得Q的坐標(biāo)為(4+4,0)、(4-4,0);以C為頂點,以AC為腰時,AC=AQ,因OC垂直于x軸,可得OA=OQ,此時點Q的坐標(biāo)為(-4,0);以O為頂點,以AC為底邊時,此時點Q的坐標(biāo)為(0,0),所以符合條件的點Q的坐標(biāo)為:(0,0),(-4,0),.
試題解析:
(1)∵C(0,4),∴OC=4.
∵OA=OC=4OB,∴OA=4,OB=1,
∴A(4,0),B(1,0),
設(shè)拋物線解析式:y=a(x+1)(x4),
∴4=4a,∴a=1.
∴y=x2+3x+4.
(2)存在.
作PN⊥x軸交AC于N,求得AC的解析式為y=-x+4 ,
設(shè)P(x,x2+3x+4),則N(x,-x+4),
得PN=(x2+3x+4)-(-x+4)=x2+4x ,
∴S△PAC=PN×4=2PN=2(x2+4x)=-2(x-2)2+8 ,
當(dāng)x=2時,ΔPAC面積的最大值為8,此時點P的坐標(biāo)為(2,6).
∴P點坐標(biāo)為(2,6)時,ΔPAC面積有最大值,最大面積是8 .
(3) 根據(jù)勾股定理求得AC=4,分三種情況:
①以A為頂點,以AC為腰時,可得AQ=4,此時可得Q的坐標(biāo)為(4+4,0)、(4-4,0);
②以C為頂點,以AC為腰時,AC=AQ,因OC垂直于x軸,可得OA=OQ,此時點Q的坐標(biāo)為(-4,0);
③以O為頂點,以AC為底邊時,此時點Q的坐標(biāo)為(0,0),
綜上,符合條件的點Q的坐標(biāo)為:(0,0),(-4,0),.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A、B為x軸上兩點,C、D為y軸上的兩點,經(jīng)過點A、C、B的拋物線的一部分c1與經(jīng)過點A、D、B的拋物線的一部分c2組合成一條封閉曲線,我們把這條封閉曲線成為“蛋線”.已知點C的坐標(biāo)為(0,﹣ ),點M是拋物線C2:y=mx2﹣2mx﹣3m(m<0)的頂點.
(1)求A、B兩點的坐標(biāo);
(2)“蛋線”在第四象限上是否存在一點P,使得△PBC的面積最大?若存在,求出△PBC面積的最大值;若不存在,請說明理由;
(3)當(dāng)△BDM為直角三角形時,求m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有20筐白菜,以每筐30千克為標(biāo)準(zhǔn),超過或不足的分別用正、負來表示,記錄如下:
與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的差(單位:千克) | -3 | -2 | -1.5 | 0 | 1 | 2.5 |
筐數(shù) | 1 | 4 | 2 | 3 | 2 | 8 |
(1)20筐白菜中,最重的一筐比最輕的一筐要重多少千克?
(2)與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量比較,20筐白菜總計超過或不足多少千克?
(3)若白菜每千克售價2元,則出售這20筐白菜可賣多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD的對角線相交于點O,DE∥AC,CE∥BD.
(1)求證:四邊形OCED是菱形;
(2)若∠CAB=60,BC的長為,求四邊形OCED的周長
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們知道:點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b,A、B兩點之間的距離表示為AB,在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離AB=|a﹣b|.所以式子|x﹣3|的幾何意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)3的點與表示有理數(shù)x的點之間的距離.
根據(jù)上述材料,直接下列問題答案:
(1)|5﹣(﹣2)|的值為_____;
(2)若|x﹣3|=1,則x的值為_____;
(3)若|x﹣3|=|x+1|,則x的值為_____;
(4)若|x﹣3|+|x+1|=7,則x的值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】用棋子擺成的“上”字型圖案如圖所示現(xiàn)察此圖案的規(guī)律,并回答:
(1)依照此規(guī)律,第五個圖形中共有 個棋子,第八個圖形中共有 個棋子.
(2)第(為正整數(shù))個圖形中共有 個棋子.
(3)根據(jù)(2)中的結(jié)論,第幾個圖形中有2022個棋子?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)在把一張正方形紙片按如圖方式剪去一個半徑為40厘米的圓面后得到如圖紙片,且該紙片所能剪出的最大圓形紙片剛好能與前面所剪的扇形紙片圍成一圓錐表面,則該正方形紙片的邊長約為( )厘米.(不計損耗、重疊,結(jié)果精確到1厘米,≈1.41,≈1.73)
A. 64 B. 67 C. 70 D. 73
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,下列說法:
①若a+b+c=0,則b2﹣4ac>0;
②若方程兩根為﹣1和2,則2a+c=0;
③若方程ax2+c=0有兩個不相等的實根,則方程ax2+bx+c=0必有兩個不相等的實根;
④若b=2a+c,則方程有兩個不相等的實根.其中正確的有( 。
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
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