Question

如圖，AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，連接AC交⊙O于D點，E為BC的中點，連接DE．
（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）若∠A=60°，AD=2，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點：切線的判定與性質(zhì),扇形面積的計算

專題：

分析：（1）先連接OD和BD，根據(jù)切線的性質(zhì)求出∠ABC=90°，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)求出OE∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出∠EOB=∠A，∠EOD=∠ODA，進而求得∠EOB=∠EOD，然后根據(jù)SAS求得△OBE≌△ODE（SAS），證得∠ODE=∠ABC=90°，根據(jù)切線的判定推出即可．
（2）先求得△ODA是等邊三角形，從而求得∠BOD=2∠A=120°，根據(jù)三角形全等的性質(zhì)求得∠EOB=∠EOD=60°，進而求得∠OED=30°，根據(jù)30°的直角三角形的性質(zhì)求得OE=2OD=4，EB=ED=

42-22

=2

3

，然后根據(jù)S_陰影=S_△BOE+S_△DOE-S_扇形OBD就可求得．

解答：證明：（1）連接OD，OE，
∵AB是⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，
∴∠ABC=90°，
∵E為BC的中點，OA=OB，
∴OE∥AC，
∴∠EOB=∠A，∠EOD=∠ODA，
∵OA=OB，
∴∠ODA=∠A，
∴∠EOB=∠EOD，
在△OBE和△ODE中，

OB=OD ∠EOB=∠EOD OE=OE

，
∴△OBE≌△ODE（SAS），
∴∠ODE=∠ABC=90°，
∴DE是⊙O的切線．

（2）∵OA=OD，∠A=60°，
∴△ODA是等邊三角形，
∴∠BOD=2∠A=120°，
∴∠EOB=∠EOD=60°，
∵∠ODE=90°，
∴∠OED=30°，
∴OE=2OD=4，EB=ED=

42-22

=2

3

，
∴S_陰影=S_△BOE+S_△DOE-S_扇形OBD=

1

2

×2×2

3

+

1

2

×2×2

3

-

120π×22

360

=

12 3 -4π

3

．

點評：本題考查了切線的判定，直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定，解此題的關鍵是求出∠ODE=90°，注意：經(jīng)過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．