Question

先閱讀材料，再結(jié)合要求回答問題．
【問題情景】
如圖①：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且線段BE，EF，F(xiàn)D滿足BE+FD=EF．試探究圖中∠EAF與∠BAD之間的數(shù)量關(guān)系．
【初步思考】
小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到G，使DG=BE，連結(jié)AG．
先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出∠EAF與∠BAD之間的數(shù)量關(guān)系是

 

．

【探索延伸】
若將問題情景中條件“∠B=∠ADC=90°”改為“∠B+∠D=180°”（如圖②），其余條件不變，請判斷上述數(shù)量關(guān)系是否仍然成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由．
【實際應(yīng)用】
如圖③，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等．接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進，1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處且相距210海里．試求此時兩艦艇的位置與指揮中心（O處）形成的夾角∠EOF的大小．

Answer 1

考點：全等三角形的應(yīng)用,方向角

專題：閱讀型

分析：【初步思考】利用△AEF≌△AGF，可得出∠EAF與∠BAD之間的數(shù)量關(guān)系；
【探索延伸】首先證明△ABE≌△ADG（SAS），再得出△AEF≌△AGF（SSS），即可得出答案；
【實際應(yīng)用】首先得出∠OAC+∠OBC=180°，得出符合探索延伸中的條件，進而得出答案．

解答：解：【初步思考】∠EAF=

1

2

∠BAD；

【探索延伸】∠EAF=

1

2

∠BAD仍然成立．
證明：如圖，延長FD到G，使DG=BE，連接AG．
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，
∴∠B=∠ADG，
在△ABE和△ADG中，

BE=DG ∠B=∠ADG AB=AD

，
∴△ABE≌△ADG（SAS）．
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．
又∵EF=BE+DF，DG=BE，∴EF=DG+DF=GF．
在△AEF和△AGF中，

AE=AG AF=AF EF=GF

，
∴△AEF≌△AGF（SSS）．
∴∠EAF=∠GAF．       
又∵∠GAF=∠DAG+∠DAF，
∴∠EAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF．
而∠EAF+∠BAE+∠DAF=∠BAD，
∴∠EAF=

1

2

∠BAD．

【實際應(yīng)用】
如圖，連接EF，延長AE、BF相交于點C．
∵1.5小時后，艦艇甲行駛了90海里，艦艇乙行駛了120海里，
即AE=90，BF=120．    
而EF=210，∴在四邊形AOBC中，有EF=AE+BF，
又∵OA=OB，且∠OAC+∠OBC=（90°-30°）+（70°+50°）=180°，
∴符合探索延伸中的條件．  
∴∠EOF=

1

2

∠AOB．  
又∵∠AOB=30°+90°+（90°-70°）=140°，
∴∠EAF=

1

2

∠AOB=70°．
答：此時兩艦艇的位置與指揮中心（O處）形成的夾角∠EOF的大小為70°．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練應(yīng)用全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．