【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)yx2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè),拋物線的對稱軸x1,與y軸交于C0,﹣3)點(diǎn),點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動點(diǎn).

1)求這個二次函數(shù)的解析式及AB點(diǎn)的坐標(biāo).

2)連接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四邊形POPC,那么是否存在點(diǎn)P,使四邊形POPC為菱形;若存在,請求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時,四邊形ABPC的面積最大;求出此時P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.

【答案】1yx22x3,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為:(﹣1,0)、(30);(2)存在,點(diǎn)P1+,﹣);(3)故S有最大值為,此時點(diǎn)P,﹣).

【解析】

1)根據(jù)題意得到函數(shù)的對稱軸為:x=﹣1,解出b=﹣2,即可求解;

2)四邊形POPC為菱形,則yP=﹣OC=﹣,即可求解;

3)過點(diǎn)PPHy軸交BC于點(diǎn)P,由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得到直線BC的表達(dá)式,設(shè)點(diǎn)Px,x22x3),則點(diǎn)Hx,x3),再根據(jù)ABPC的面積SSABC+SBCP即可求解.

1)函數(shù)的對稱軸為:x=﹣1,解得:b=﹣2,

yx22x+c

再將點(diǎn)C0,﹣3)代入得到c=-3,

,∴拋物線的表達(dá)式為:yx22x3,

y0,則x=﹣13,

故點(diǎn)AB的坐標(biāo)分別為:(﹣1,0)、(3,0);

2)存在,理由:

如圖1,四邊形POPC為菱形,則yP=﹣OC=﹣,

yx22x3=﹣,

解得:x1(舍去負(fù)值),

故點(diǎn)P1+,﹣);

3)過點(diǎn)PPHy軸交BC于點(diǎn)P

由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得到直線BC的表達(dá)式為:yx3

設(shè)點(diǎn)Px,x22x3),則點(diǎn)Hx,x3),

ABPC的面積SSABC+SBCP

×AB×OC+×PH×OB

×4×3+×3×(x3x2+2x+3

=﹣x2+x+6,

=

-0

∴當(dāng)x=時,S有最大值為,此時點(diǎn)P,﹣).

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1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時,猜想∠AFC和∠FAC的數(shù)量關(guān)系;(直接寫出結(jié)果)

2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段AD的延長線上時,(1)中的結(jié)論還成立嗎?若成立,請證明你的結(jié)論,若不成立,請寫出你的結(jié)論,并證明你的結(jié)論;

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