【題目】如圖1是一塊內(nèi)置量角器的等腰直角三角板,它是一個軸對稱圖形.已知量角器所在的半圓O的直徑DEAB之間的距離為1DE4AB8,點N為半圓O上的一個動點,連結(jié)AN交半圓或直徑DE于點M

1)當AN經(jīng)過圓心O時,求AN的長;

2)如圖2,若N為量角器上表示刻度為90°的點,求△MON的周長;

3)當時,求△MON的面積.

【答案】1AN+2;(2;(31

【解析】

(1)如圖1中,連接FO延長FOABH.則FHABFHDE.解直角三角形求出AO即可解決問題.

(2)如圖2中,連接OM,作OJMN.利用相似三角形的性質(zhì)求出NJ,再利用垂徑定理求出MN即可解決問題.

(3)分兩種情形:如圖31中,連接AO,延長AO交⊙OK,作OJMNJ,連接OMON.設AM=MN=xOJ=y,構建方程組即可解決問題.如圖32中,連接ON,作NJABJDEK.想辦法求出OM,NK即可解決問題.

(1)如圖1中,連接FO延長FOABH.則FHAB,FHDE

DE=4

∴⊙O的半徑為2,

FA=FB,FHAB,

AH=HB=4,

中,OH=1,AH=4,

,

(2)如圖2中,連接OM,作OJMNJ

中, AH=4,

,

公共,

∴△OJN∽△AHN,

,即,

JN=,

OJMNOM=ON,

JM=JN,

MN=2JN=

∴△MON的周長=2+2+=;

(3)如圖31中,連接AO并延長AO交⊙OK,作OJMNJ,連接OM,ON

,

AM=MN=

AM=MN=x,OJ=y,

OJMN,OM=ON,

JM=JN=

中,

,即①,

中, AO=,

,即②,

聯(lián)立①②并解得,,

,OJ=

SMON=

如圖32中,連接ON,作NJABJDEK

AM=MN,MKAJ,

MK的中位線,

NK=JK=OH=1,MK= AJ,

NJAB,DEAB

NKOE,

sinNOK=

,

∴∠NOK=,

OK=NK=,

NJAB,FHAB,DEAB,

∴四邊形OKJH是矩形,

HJ=OK=,

AJ= AH+ HJ =4+,

MK=AJ=2+,

OM=MKOK= 2+=2

SMON=(2)×1=1,

綜上所述,滿足條件的△MON的面積為1

練習冊系列答案
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