Question

8．如圖，在正方形ABCD中，點E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，且AE=BF=CG=DH，線段EG與FH是否存在特殊的位置關系或數(shù)量關系？證明你的結論．

Answer 1

分析 根據(jù)正方形的性質得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，求出BE=CF=DG=AH，根據(jù)SAS推出△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAB，根據(jù)全等三角形的性質得出EF=FG=GH=HE，∠AEH=∠EFB，求出∠HEF=90°，根據(jù)正方形的判定得出四邊形EFGH的形狀是正方形即可．

解答 證明：連接HG，GF，EF，HE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，
∵AE=BF=CG=DH，
∴BE=CF=DG=AH，
∴△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAB，
∴EF=FG=GH=HE，∠AEH=∠EFB，
∵∠B=90°，
∴∠EFB+∠FEB=90°，
∴∠AEH+∠FEB=90°，
∴∠HEF=90°，
∵EF=FG=GH=HE，
∴四邊形EFGH的形狀是正方形，
∴EG=HF，且EG⊥HF．

點評 本題考查了全等三角形的性質和判定，正方形的性質和判定的應用，解此題的關鍵是推出∠HEF=90°和EF=FG=GH=HE，題目比較典型，難度適中．