【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,AM、BN分別與⊙O相切于點A、B,CD交AM、BN于點D、C,DO平分∠ADC.

(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)設(shè)AD=4,AB=x (x > 0),BC=y(tǒng) (y > 0). 求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.

【答案】
(1)證明:過O做OE⊥CD于點E,

則∠OED=90°
∵⊙O與AM相切于點A
∴∠OAD=90°
∵OD平分∠ADE
∴∠ADO=∠EDO
∵OD=OD
∴△OAD≌△OED
∴OE=OA
∵OA是⊙O的半徑
∴OE是⊙O的半徑
∴CD是⊙O的切線
(2)解:過點D做DF⊥BC于點F,則DF=AB=x

∵AD=4,BC=y(tǒng)
∴CF=BC-AD=y(tǒng)-4
由切線長定理可得:
∴DE=DA,CE=CB
∴CD=CE+ED
=BC+AD
=4+y
在Rt△DFC中,
∵CD2=DF2+FC2
∴(y+4)=x 2+(y-4)2
整理得:y= x2
則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為:y= x2

解法二:連接OC,

∵CD、CB都是⊙O的切線
∴CE=CB=y(tǒng)
OC平分∠BCD
即:∠OCD= ∠BCD
同理:DE=AD=4
∠CDO= ∠CDA
∵AM、BN分別與⊙O相切
且AB為⊙O的直徑
∴AM//BN
∴∠BCD+∠CDA=180°
∴∠OCD+∠CDO=90°
∵∠CDO+∠OCD+∠COD=180°
∴∠COD=90°
∵在Rt△DOC中,
OD2=OA2+AD2
即OD2=( )2+42
同理可得:
OC2=( )2+y2
∵CD=CE+ED=y(tǒng)+4
∴在Rt△OCD中
CD2=OC2+OD2
即(y+4)2=( )2+42+( )2+y2
整理得:y= x2
則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為:y= x2
【解析】(1)過O做OE⊥CD于點E,則∠OED=90° ,根據(jù)切線的性質(zhì),圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑得出∠OAD=90° ,根據(jù)角平分線的定義得出∠ADO=∠EDO ,從而根據(jù)AAS判斷出△OAD≌△OED,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得出OE=OA ,根據(jù)切線的判定定理得出CD是⊙O的切線 ;
(2)解法一 :過點D做DF⊥BC于點F,則DF=AB=x ,根據(jù)矩形的性質(zhì)及線段的和差得出CF=BC-AD=y(tǒng)-4 ,由切線長定理可得:DE=DA,CE=CB ,根據(jù)線段的和差得出CD=CE+ED=BC+AD=4+y ,在Rt△DFC中,由勾股定理得出(y+4)=x 2+(y-4)2 ,從而得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式 ;解法二:連接OC,根據(jù)切線長定理得出CE=CB=y(tǒng) ,OC平分∠BCD ,即:∠OCD= ∠BCD,同理:DE=AD=4 ,∠CDO= ∠CDA ,又AM、BN分別與⊙O相切且AB為⊙O的直徑 ,故AM//BN,根據(jù)二直線平行同旁內(nèi)角互補得出∠BCD+∠CDA=180° ,進而得出∠OCD+∠CDO=90° ,根據(jù)平角的定義得出∠CDO+∠OCD+∠COD=180° ,從而得出COD=90°,在Rt△DOA中,根據(jù)勾股定理得出OD2=( )2+42 , 同理可得:OC2=( x 2 )2+y2 ,由于CD=CE+ED=y(tǒng)+4 ,在Rt△OCD中 ,CD2=OC2+OD2 ,即(y+4)2=( x 2 )2+42+( x 2 )2+y2 ,從而得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系。
【考點精析】本題主要考查了切線長定理和垂徑定理的推論的相關(guān)知識點,需要掌握從圓外一點引圓的兩條切線,它們的切線長相等圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角;推論1:A、平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧B、弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分弦所對的兩條弧C、平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條弧;推論2 :圓的兩條平行弦所夾的弧相等才能正確解答此題.

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