Question

【題目】已知關(guān)于x的方程x2－(k＋2)x＋2k＝0．
（1）求證：k取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）若此方程的一個(gè)根是1，請(qǐng)求出方程的另一個(gè)根，并求以此兩根為邊長(zhǎng)的直角三角形的周長(zhǎng).

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△=b2﹣4ac=（k+2）2﹣8k=（k﹣2）2≥0，∴無(wú)論k取任意實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）解：把x=1代入x2－（k＋2）x＋2k＝0中，1-（k+2）+2k=0，k=1，
把k=1代入x2－（k＋2）x＋2k＝0中，
x=1或x=2，
所以方程的另一根是2．
①當(dāng)1，2為直角邊時(shí)，斜邊為
此時(shí)直角三角形周長(zhǎng)為
②當(dāng)2為斜邊，1為直角邊時(shí)，另一直角邊為
此時(shí)直角三角形周長(zhǎng)為
綜上所述，直角三角形的周長(zhǎng)為 ．
【解析】（1）首先算出此方程的△=b2﹣4ac=（k+2）2﹣8k=（k﹣2）2，根據(jù)平方的非負(fù)性得出≥0，從而得出結(jié)論k取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）根據(jù)方程根的定義把把x=1代入x2－（k＋2）x＋2k＝0中 ，得出一個(gè)關(guān)于k的一元一次方程，解方程得出k的值，從而把k=1代入x2－（k＋2）x＋2k＝0中，得出一個(gè)關(guān)于x的方程，解方程得出方程的另一個(gè)根；然后分類討論：①當(dāng)1，2為直角邊時(shí)，根據(jù)勾股定理得出斜邊的長(zhǎng)，從而算出直角三角形的周長(zhǎng)；②當(dāng)2為斜邊，1為直角邊時(shí)，根據(jù)勾股定理算出另一直角邊的長(zhǎng)，從而算出直角三角形的周長(zhǎng) ；綜上所述，得出結(jié)論。