【題目】如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,點D,E在⊙O上,連接AE,DE,CD,BE,CE,∠EAC+∠BAE=180°,

(1)判斷BE與CE之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;

(2)求證:△ABE≌△DCE;

(3)若∠EAC=60°,BC=8,求⊙O的半徑.

【答案】(1)BE=CE,理由見解析;(2)證明見解析;(3)

【解析】分析:(1)由A、B、C、E四點共圓的性質(zhì)得:∠BCE+∠BAE=180°,則∠BCE=EAC,所以,則弦相等;(2)根據(jù)SSS證明△ABE≌△DCE;

(3)作BCBE兩弦的弦心距,證明RtGBORtHBO(HL),則∠OBH=30°,設(shè)OH=x,則OB=2x,根據(jù)勾股定理列方程求出x的值,可得半徑的長.

本題解析:

(1)解:BE=CE,

理由:∵∠EAC+∠BAE=180°,∠BCE+∠BAE=180°,

∴∠BCE=∠EAC,

∴BE=CE;

(2)證明:∵,∴AB=CD,

, ,∴AE=ED,

由(1)得:BE=CE,

在△ABE和△DCE中,

∴△ABE≌△DCE(SSS);

(3)解:如圖,∵過O作OG⊥BE于G,OH⊥BC于H,

∴BH=BC=×8=4,BG=BE,

∵BE=CE,∠EBC=∠EAC=60°,

∴△BEC是等邊三角形,∴BE=BC,∴BH=BG,

∵OB=OB,∴Rt△GBO≌Rt△HBO(HL),

∴∠OBH=∠GBO=∠EBC=30°,

設(shè)OH=x,則OB=2x,

由勾股定理得:(2x)2=x2+42,x=,

∴OB=2x=,∴⊙O的半徑為

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