Question

如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線y=﹣x+4與x軸交于點B，與y軸交于點A，點C在x軸的負半軸上，并且OC=OB，一動點P在射線AB上運動，連結CP交y軸于點D，連結BD．過B，P，D三點作圓，交y軸與點E，過點E作EF∥x軸，交圓于點F，連結BF，DF．

（1）求點C的坐標．

（2）若動點P在線段AB上運動，

①求證∠EDB=∠ADP；

②設AP=n，CP=m，求當n為何值時，m的值最小？最小值是多少？

（3）試探究：點P在運動的過程中，當△BDF為直角三角形，并且兩條直角邊之比為2：1時，請直接寫出OD的長　 　．

Answer 1

       解：（1）令x=0，則y=4，

∴A（0，4），

令y=0，則﹣+4=0，x=3，

∴B（3，0），

又∵OC=OB=3，且點C在負半軸上，

∴C點的坐標為（﹣3，0）；

（2）①在△DOC與△DOB中，

，

∴△DOC≌△DOB（SAS），

∴∠CDO=∠BDO，

又∵∠CDO=∠ADP，

∴∠BDO=ADP，

即∠BDE=∠ADP；

②要使CP的長最短，則需CP⊥AB，

∴∠CPB=90°，

∵∠CBP=∠ABO，

∠AOB=∠CPB=90°，

∴Rt△BPC∽Rt△BOA，

∴，

∴==，

解得：n=，m=，

即n=時，m有最小值，最小值為；

（3）①當BD：BF=2：1時，

如圖1，過點F作FH⊥OB于點H，

∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°，

∴∠DBO=∠BFH，

又∵∠DOB=∠BHF=90°，

∴△BOD∽△FHB，

∴===2，

∴FH=，OD=2BH，

∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，

∴四邊形OEFH是矩形，

連結PE，

∵∠ADP是△DPE的一個外角，

∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，

∵∠BDE是△ABD的一個外角，

∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，

∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，

∴∠DPE=∠OAB，

∴∠DFE=∠OAB，

∴=，即=，

∴DE=EF，

∴OD+=×（3﹣OD），解得OD=；

②當=時，

如圖2，連結EB，過點F作FG⊥OB于點G，

同理可得DE=EF，

同理可得：△BOD∽△FGB，

∴===，

∴FG=6，OD=BG，

∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°，

∴四邊形OEFG是矩形，

6﹣OD=×（3+2OD），解得OD=．

綜上所述：當△BDF為直角三角形，并且兩條直角邊之比為2：1時，OD的長為或．

故答案為：或．