Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣1（a≠0）經(jīng)過A（﹣1，0），B（2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，當(dāng)△ACP的周長最小時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)N在拋物線上，點(diǎn)M在拋物線的對稱軸上，是否存在以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的Rt△DNM與Rt△BOC相似？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx﹣1（a≠0）經(jīng)過A（﹣1，0），B（2，0）兩點(diǎn)，

∴

∴ ，

∴拋物線解析式為y= x2﹣ x﹣1= （x﹣ ）2﹣ ，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，﹣ ）

（2）

解：如圖1，

連接BC與拋物線對稱軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)P，連接AC，AP，

∵點(diǎn)A，B關(guān)于拋物線對稱軸對稱，

∴PA=PB，

∵B（2，0），C（0，﹣1），

∴直線BC解析式為y= x﹣1，

∵點(diǎn)P在拋物線對稱軸上，

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 ，

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為﹣ ，

∴P（ ，﹣ ）

（3）

解：如圖2，

過點(diǎn)作NF⊥DM，

∵B（2，0），C（0，﹣1），

∴OB=2，OC=1，

∴tan∠OBC= = ，tan∠OCB= =2，

設(shè)點(diǎn)N（m， m2﹣ m﹣1），

∴FN=|m﹣ |，F(xiàn)D=| m2﹣ m﹣1+ |=| m2﹣ m+ |，

∵Rt△DNM與Rt△BOC相似，

∴∠MDN=∠OBC，或∠MDN=∠OCB，

①當(dāng)∠MDN=∠OBC時(shí)，

∴tan∠MDN= = ，

∴ =

∴m= （舍）或m= 或m=﹣ ，

∴N（ ， ）或（﹣ ， ），

②當(dāng)∠MDN=∠OCB時(shí)，

∴tan∠MDN= =2，

∴ =2，

∴m= （舍）或m= 或m=﹣ ，

∴N（ ，﹣ ）或（﹣ ，﹣ ）；

∴符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)（ ， ）或（﹣ ， ）或（ ，﹣ ）或（﹣ ，﹣ ）

【解析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；（2）確定出當(dāng)△ACP的周長最小時(shí)，點(diǎn)P就是BC和對稱軸的交點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可？（3）作出輔助線，利用tan∠MDN=2或 ，建立關(guān)于點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的方程，求出即可．此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，拋物線的對稱性，三角函數(shù)，三角形周長的計(jì)算，絕對值方程，過點(diǎn)N作拋物線對稱軸的垂線是解本題的關(guān)鍵也是難點(diǎn)．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移和解直角三角形的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點(diǎn)（h,k）（2）對x軸左加右減；對y軸上加下減；解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)才能正確解答此題．