【題目】探究

問題1 已知:如圖1,三角形ABC中,點DAB邊的中點,AE⊥BC,BF⊥AC,垂足分別為點E,F(xiàn),AE,BF交于點M,連接DE,DF.若DE=kDF,則k的值為   

拓展

問題2 已知:如圖2,三角形ABC中,CB=CA,點DAB邊的中點,點M在三角形ABC的內(nèi)部,且∠MAC=∠MBC,過點M分別作ME⊥BC,MF⊥AC,垂足分別為點E,F(xiàn),連接DE,DF.求證:DE=DF.

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問題3 如圖3,若將上面問題2中的條件“CB=CA”變?yōu)?/span>“CB≠CA”,其他條件不變,試探究DEDF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

【答案】(1)1;(2)證明見解析;(3)DE=DF,理由見解析.

【解析】

(1)利用直角三角形的性質(zhì)“直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半”得到DE=DF;

(2)利用等腰三角形的性質(zhì)和判定得出結(jié)論,從而判定△MEB≌△MFA(AAS),得到DE=DF.

(3)利用三角形的中位線和直角三角形的性質(zhì)根據(jù)SAS證明△DHE≌△FGD可得.

(1)∵AE⊥BC,BF⊥AC

∴△AEB和AFB都是直角三角形

D是AB的中點

DE和DF分別為RtAEB和RtAFB的斜邊中線

∴DE=AB,DF=AB(直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半)

∴DE=DF

∵DE=kDF

∴k=1

(2)∵CB=CA

∴∠CBA=∠CAB

∵∠MAC=∠MB

∴∠CBA﹣∠MBC=∠CAB﹣∠MAC

∠ABM=∠BAM

∴AM=BM

∵ME⊥BC,MF⊥AC

∴∠MEB=∠MFA=90

∵∠MBE=∠MAF

∴△MEB≌△MFA(AAS)

∴BE=AF

D是AB的中點,即BD=AD

∵∠DBE=∠DAF

∴△DBE≌△DAF(SAS)

∴DE=DF

(3)DE=DF

如圖1,作AM的中點G,BM的中點H,

點 D是 邊 AB的 中點

∴DG∥BM,DG=BM

同理可得:DH∥AM,DH=AM

∵ME⊥BC于E,H 是BM的中點

在RtBEM中,HE=BM=BH

∴∠HBE=∠HEB

∠MHE=∠HBE+∠HEB=2∠MBC

∵DG=BM,HE=BM

∴DG=HE

同理可得:DH=FG,∠MGF=2∠MAC

∵DG∥BM,DH∥GM

四邊形DHMG是平行四邊形

∴∠DGM=∠DHM

∵∠MGF=2∠MAC,∠MHE=2∠MBC

∵∠MBC=∠MAC

∴∠MGF=∠MHE

∴∠DGM+∠MGF=∠DHM+∠MHE

∴∠DGF=∠DHE

DHE與FGD中

,

∴△DHE≌△FGD(SAS),

∴DE=DF

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①abc>0;②a+3b+2c≤0;③對于自變量x的任意一個取值,都有 x2+x≥﹣ ;④在﹣2<x<﹣1中存在一個實數(shù)x0 , 使得x0=﹣ ,
其中結(jié)論錯誤的是 (只填寫序號).

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(1)寫出圖2中所表示的數(shù)學等式_____;

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(3)圖3中給出了若干個邊長為a和邊長為b的小正方形紙片及若干個邊長分別為a、b的長方形紙片,

請按要求利用所給的紙片拼出一個幾何圖形,并畫在圖3所給的方框中,要求所拼出的幾何圖形的面積為2a2+5ab+2b2,

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(2)①當P點運動到A點處時,計算:PO= , PH= , 由此發(fā)現(xiàn),POPH(填“>”、“<”或“=”);
②當P點在拋物線上運動時,猜想PO與PH有什么數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;
(3)如圖2,設(shè)點C(1,﹣2),問是否存在點P,使得以P,O,H為頂點的三角形與△ABC相似?若存在,求出P點的坐標;若不存在,請說明理由.

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