Question

【題目】如圖1，已知中，，，點在邊的延長線上，且．

（1）求的度數(shù)；

（2）如圖2，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)（）得到．

①若，與相交于點，求的長度；

②連接，，若旋轉(zhuǎn)過程中時，求滿足條件的的度數(shù)．

（3）如圖3，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)（）得到，若點為的中點，點為線段上任意一點，直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中，線段長度的取值范圍為______．

Answer 1

【答案】（1）∠ADC=30°；（2）①DE=；②45°或225°；（3）．

【解析】

（1）過點C作CH⊥AB于H，由等腰直角三角形的性質(zhì)和已知條件可得CH＝AB＝CD，再由銳角三角函數(shù)可求解；

（2）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和（1）題的結果可得的長，∠＝∠，由等腰三角形的性質(zhì)和30°角的余弦可得CF與CE，進一步即可求出結果；

②分兩種情況分別畫出圖形，如圖3、圖4，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可由“SSS”證明△≌△，可得∠＝∠，進而可得α的方程，解方程即得結果；

（3）如圖5，當⊥AC時，N是AC與的交點時，MN的長度最小，如圖6，當點A，C，共線，且點N與點重合時，MN有最大值，進而可求結果．

解：（1）如圖1，過點C作CH⊥AB于H，

∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，CH⊥AB，

∴AB＝6，CH＝AB＝3，∠CAB＝∠CBA＝45°，

∵AB＝CD，

∴CH＝CD，

∴sin∠ADC＝，

∴∠ADC＝30°；

（2）①如圖2，過點E作EF⊥于F，

∵將△ACD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°）得到△，

∴CD＝＝6，∠＝30°＝∠CDA＝∠，

∴CE＝，

又∵EF⊥，

∴CF＝＝3，

∴CE＝，

∴DE＝DC﹣CE＝；

②如圖3，

∵∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，

∴∠BCD＝15°，

∴∠ACD＝105°，

∵將△ACD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°）得到△，

∴AC＝，CD＝，∠＝∠＝α，

∴CB＝，

又∵，

∴△≌△（SSS），

∴∠＝∠，

∴105°﹣α＝15°+α，

∴α＝45°；

如圖4，

同上面的方法可證：△≌△，

∴∠＝∠，

∴α﹣105°＝360°﹣α﹣15°，

∴α＝225°；

綜上所述：滿足條件的α的度數(shù)為45°或225°；

（3）如圖5，當⊥AC，N是AC與的交點時，MN的長度最小，

∵∠＝45°，⊥AC，

∴∠＝∠＝45°，

∴CN＝N＝3，

∵點M為AC的中點，

∴CM＝AC＝3，

∴MN的最小值＝NC﹣CM＝3﹣3；

如圖6，當點A，C，共線，且點N與點重合時，MN有最大值，

此時MN＝CM+CN＝6+3，

∴線段MN的取值范圍是；

故答案為：．