Question

【題目】如圖，內接于，為的直徑，，，、分別是邊、上的兩個動點（不與端點、、重合），將沿折疊，點的對應點恰好落在線段上（包含端點、），若為等腰三角形，則的長為__.

Answer 1

【答案】或或

【解析】

分三種情況討論：當AB'=DB'時，△ADB′是等腰三角形；當AD=AB'時，△ADB′是等腰三角形；當AD=B'D時，△AEB′是等腰三角形，分別根據等腰三角形的性質以及勾股定理進行計算，即可得到CB′的值．

解：內接于，為的直徑，

∴∠C=90°，

∵BC=3，AB=5，

∴AC=4，

分三種情況討論：

①如圖所示，當AD=DB'時，△ADB′是等腰三角形；

∴DB=B'D=AD，

即：D點與O點重合，B'與C重合，

AD=

②如圖所示，當B'D=AB'時，△AEB′是等腰三角形，

過B'作B'H⊥AB，垂足為H，

∴AH=DH

∴△AHB'∽△ABC

設AB'=B'D=BD＝5x，則AH= DH =4x，HB'=3x，

∴AB=BD+DH+AH=13x，

即13x=5，x=，

AD=8x=

③如圖所示，當AD=AB'時，△AEB′是等腰三角形，

過B'作B'H⊥AB，垂足為H，

∴△AHB'∽△ABC

設AB'=AD=5x，則AH=4x，HB'=3x，DH=x，

∴DB=DB'= ==

∴5x+=5

解得，

∴AD=5x=.

綜上所述：AD的長為：或或.