Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，己知點，點在軸上，并且，動點在過三點的拋物線上．

（1）求拋物線的解析式．

（2）作垂直軸的直線，在第一象限交直線于點，交拋物線于點，求當線段的長有最大值時的坐標．并求出最大值是多少．

（3）在軸上是否存在點，使得△是等腰三角形?若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，最大值為4，此時的坐標為；（3）存在，或或或

【解析】

（1）先確定A（4，0），B（-1，0），再設(shè)交點式y=a（x+1）（x-4），然后把C點坐標代入求出a即可；

（2）作PE⊥x軸，交AC于D，垂足為E，如圖，易得直線AC的解析式為y=-x+4，設(shè)P（x，-x2+3x+4）（0＜x＜4），則D（x，-x+4），再用x表示出PD，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題；

（3）先計算出AC=4，再分類討論：當QA=QC時，易得Q（0，0）；當CQ=CA時，利用點Q與點A關(guān)于y軸對稱得到Q點坐標；當AQ=AC=4時可直接寫出Q點的坐標．

（1）∵C（0，4），

∴OC=4，

∵OA=OC=4OB，

∴OA=4，OB=1，

∴A（4，0），B（-1，0），

設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-4），

把C（0，4）代入得a×1×（-4）=4，解得a=-1，

∴拋物線解析式為y=-（x+1）（x-4），

即y=-x2+3x+4；

（2）作PE⊥x軸，交AC于D，垂足為E，如圖，

設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，

∵A（4，0），C（0，4）

∴

解得，

∴直線AC的解析式為y=-x+4，

設(shè)P（x，-x2+3x+4）（0＜x＜4），則D（x，-x+4），

∴PD=-x2+3x+4-（-x+4）=-x2+4x=-（x-2）2+4，

當x=2時，PD有最大值，最大值為4，此時P點坐標為（2，6）；

（3）存在．

∵OA=OC=4，

∴AC=4，

∴當QA=QC時，Q點在原點，即Q（0，0）；

當CQ=CA時，點Q與點A關(guān)于y軸對稱，則Q（-4，0）；

當AQ=AC=4時，Q點的坐標（4+4，0）或（4-4，0），

綜上所述，Q點的坐標為（0，0）或（-4，0）或（4+4，0）或（4-4，0）．