【題目】已知:拋物線y=ax2﹣3(a﹣1)x+2a﹣6(a>0).
(1)求證:拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).
(2)設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2(其中x1>x2).若t是關(guān)于a的函數(shù)、且t=ax2﹣x1,求這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式;
(3)若a=1,將拋物線向上平移一個(gè)單位后與x軸交于點(diǎn)A、B.平移后如圖所示,過(guò)A作直線AC,分別交y的正半軸于點(diǎn)P和拋物線于點(diǎn)C,且OP=1.M是線段AC上一動(dòng)點(diǎn),求2MB+MC的最小值.
【答案】(1)詳見解析;(2)t=a﹣5;(3)2MB+MC的最小值為.
【解析】
(1)要證拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),可求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式的值,利用完全平方公式的非負(fù)性說(shuō)明△>0即可;
(2)令y=0,求出含a的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo),然后根據(jù)條件確定x2和x1,再代入t=ax2﹣x1中整理即可;
(3)易求出平移后拋物線的解析式及A,B的坐標(biāo)和直線AC的解析式,然后聯(lián)立直線AC的解析式和二次函數(shù)的解析式可得點(diǎn)C的坐標(biāo),過(guò)C作CN⊥y軸,過(guò)M作MG⊥CN于G,過(guò)C作CH⊥x軸于H,易得∠GCM=30°,則,于是2MB+MC=2(MB+GM),而MB+GM的最小值即B到CN的最小距離CH,問(wèn)題即得解決.
(1)證明:△=b2﹣4ac=[﹣3(a﹣1)]2﹣4a(2a﹣6)=a2+6a+9=(a+3)2,
∵a>0,∴(a+3)2>0,
∴拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn);
(2)解:令y=0,則ax2﹣3(a﹣1)x+2a﹣6=0,
∵a>0,∴,∴x=2或,
∵a>0,∴,
∵x1>x2,∴x1=2,,
∴,
∴t=a﹣5;
(3)解:當(dāng)a=1時(shí),拋物線為y=x2﹣4,向上平移一個(gè)單位得y=x2﹣3,
令y=0,則x2﹣3=0,解得:,∴A(,0),B(,0),∴AO=,
∵OP=1,∴P(0,1),設(shè)直線AC的解析式為,把點(diǎn)A(,0)代入,得:,∴直線AC的解析式為:,
聯(lián)立:,解得:,,∴點(diǎn)C坐標(biāo)為(,),
在Rt△AOP中,根據(jù)勾股定理,得:AP=,∴∠OAP=30°,
過(guò)C作CN⊥y軸,過(guò)M作MG⊥CN于G,過(guò)C作CH⊥x軸于H,
∵CN∥x軸,∴∠GCM=∠PAO=30°,∴,
∴,
∵B到CN最小距離為CH,
∴MB+GM的最小值為CH的長(zhǎng)度,
∴2MB+MC的最小值為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】由兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤、每個(gè)轉(zhuǎn)盤被分成如圖所示的幾個(gè)扇形、游戲者同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤,如果一個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色,另一轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了藍(lán)色,游戲者就配成了紫色下列說(shuō)法正確的是( 。
A. 兩個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出藍(lán)色的概率一樣大
B. 如果A轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了藍(lán)色,那么B轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出藍(lán)色的可能性變小了
C. 先轉(zhuǎn)動(dòng)A 轉(zhuǎn)盤再轉(zhuǎn)動(dòng)B 轉(zhuǎn)盤和同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤,游戲者配成紫色的概率不同
D. 游戲者配成紫色的概率為
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,己知點(diǎn),點(diǎn)在軸上,并且,動(dòng)點(diǎn)在過(guò)三點(diǎn)的拋物線上.
(1)求拋物線的解析式.
(2)作垂直軸的直線,在第一象限交直線于點(diǎn),交拋物線于點(diǎn),求當(dāng)線段的長(zhǎng)有最大值時(shí)的坐標(biāo).并求出最大值是多少.
(3)在軸上是否存在點(diǎn),使得△是等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,AC、BD交于點(diǎn)O,BD=8,AC=4,DP∥AC,CP∥BD.
(1)求線段OP的長(zhǎng);
(2)不添加任何輔助線的情況下,直接寫出圖中所有的平行四邊形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)計(jì)劃根據(jù)學(xué)生的興趣愛好組建課外興趣小組,并隨機(jī)抽取了部分同學(xué)的興趣愛好進(jìn)行調(diào)查,將收集的數(shù)據(jù)整理并繪制成下列兩幅統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)根據(jù)圖中的信息,完成下列問(wèn)題:
學(xué)校這次調(diào)查共抽取了 名學(xué)生;
求的值并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,“圍棋”所在扇形的圓心角度數(shù)為 ;
設(shè)該校共有學(xué)生名,請(qǐng)你估計(jì)該校有多少名學(xué)生喜歡足球.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】課堂上,蔣老師拿出了4張分別與有數(shù)字1,2,3,4的卡片(除數(shù)字外其他都相同),讓同學(xué)們隨機(jī)抽取兩張,并計(jì)算這兩張卡片上數(shù)字的和.
(1)請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法列舉出所有等可能的結(jié)果;
(2)求兩張卡片上數(shù)字的和大于5的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(10分)在Rt△ABC中,∠BAC=,D是BC的中點(diǎn),E是AD的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)求證:△AEF≌△DEB;
(2)證明四邊形ADCF是菱形;
(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCFD 的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論:①c<0;②2a+b=0;③a+b+c<0;④b2﹣4ac<0,其中正確的有( )
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā),在同一條公路上,勻速行駛,相向而行,到兩車相遇時(shí)停止.甲車行駛一段時(shí)間后,因故停車0.5小時(shí),故障解除后,繼續(xù)以原速向B地行駛,兩車之間的路程y(千米)與出發(fā)后所用時(shí)間x(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
(1)求甲、乙兩車行駛的速度V甲、V乙.
(2)求m的值.
(3)若甲車沒有故障停車,求可以提前多長(zhǎng)時(shí)間兩車相遇.
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