Question

【題目】問(wèn)題的提出：

如果點(diǎn)是銳角內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，如何確定一個(gè)位置，使點(diǎn)到△ABC的三頂點(diǎn)的距離之和的值為最��？

（1）問(wèn)題的轉(zhuǎn)化：

把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，這樣就把確定的最小值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成確定的最小值的問(wèn)題了，請(qǐng)你利用圖1證明：．

（2）問(wèn)題的解決：

當(dāng)點(diǎn)到銳角的三頂點(diǎn)的距離之和的值為最小時(shí)，求的度數(shù)．

問(wèn)題的延伸：

（3）如圖2所示，在鈍角中，，，，點(diǎn)是這個(gè)三角形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)你利用以上方法，求點(diǎn)到這個(gè)三角形各頂點(diǎn)的距離之和的最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）∠AMB=120°；（3）．

【解析】

（1）證明△AMM'是等邊三角形，求出MM'=MA，結(jié)合MC=M'C'可得結(jié)論；

（2）當(dāng)B、M、M'、C'在同一直線上時(shí)，MA+MB+MC的值為最小，此時(shí)∠AMM'=60°，故可得∠AMB=120°；

（3）根據(jù)題意作出輔助線，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出，求得和的長(zhǎng)，然后在中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可．

（1）如圖1，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠MAM'=60°，MA=M'A，

∴△AMM'是等邊三角形，

∴MM'=MA，

∵MC=M'C'，

∴MA+MB+MC=BM+MM′+M′C′；

（2）如圖2，把△AMC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到△AM′C′，連接MM′，由“問(wèn)題的轉(zhuǎn)化”可知：當(dāng)B、M、M'、C'在同一直線上時(shí)，MA+MB+MC的值為最小，

由（1）可知△AMM'是等邊三角形，則∠AMM'=60°，

∴∠AMB=120°；

（3）如圖3，把△AMC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)60度得到△AM′C′，且B、M、M'、C'在同一直線上，過(guò)點(diǎn)作延長(zhǎng)線的垂線，垂足為，

由旋轉(zhuǎn)可得≌，則，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，則，

∴在中，，

∴，

∵點(diǎn)B、M、M'、C'在同一直線上，

∴在中，，

即點(diǎn)到這個(gè)三角形各頂點(diǎn)的距離之和的最小值為．