【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,9),與y軸交于點(diǎn)A(0,5),與x軸交于點(diǎn)E,B.

(1)求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式;
(2)過點(diǎn)A作AC平行于x軸,交拋物線于點(diǎn)C,點(diǎn)P為拋物線上的一點(diǎn)(點(diǎn)P在AC上方),作PD平行于y軸交AB于點(diǎn)D,問當(dāng)點(diǎn)P在何位置時,四邊形APCD的面積最大?并求出最大面積;
(3)若點(diǎn)M在拋物線上,點(diǎn)N在其對稱軸上,使得以A,E,N,M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,且AE為其一邊,求點(diǎn)M,N的坐標(biāo).

【答案】
(1)解:設(shè)拋物線解析式為y=a +9,∵拋物線與y軸交于點(diǎn)A(0,5), ∴4a+9=5,
∴a=﹣1, y=﹣ +9=- +4x+5
(2)解:當(dāng)y=0時,- +4x+5=0,∴x1=﹣1,x2=5,∴E(﹣1,0),B(5,0),
設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n,∵A(0,5),B(5,0),∴m=﹣1,n=5,
∴直線AB的解析式為y=﹣x+5;設(shè)P(x,﹣ +4x+5), ∴D(x,﹣x+5),
∴PD=- +4x+5+x﹣5=- +5x, ∵AC=4, ∴S四邊形APCD= ×AC×PD=2(- +5x)=-2 +10x,
∴當(dāng)x= 時, ∴S四邊形APCD最大= ,
(3)解:如圖,

過M作MH垂直于對稱軸,垂足為H,∵M(jìn)N∥AE,MN=AE,∴△HMN≌△AOE,∴HM=OE=1,
∴M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=3或x=1,當(dāng)x=1時,M點(diǎn)縱坐標(biāo)為8,當(dāng)x=3時,M點(diǎn)縱坐標(biāo)為8,
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為M1(1,8)或M2(3,8),∵A(0,5),E(﹣1,0), ∴直線AE解析式為y=5x+5,
∵M(jìn)N∥AE,∴MN的解析式為y=5x+b,∵點(diǎn)N在拋物線對稱軸x=2上,∴N(2,10+b),
∵AE2=OA2+0E2=26 ∵M(jìn)N=AE ∴MN2=AE2 , ∴MN2=(2﹣1)2+[8﹣(10+b)]2=1+(b+2)2
∵M(jìn)點(diǎn)的坐標(biāo)為M1(1,8)或M2(3,8), ∴點(diǎn)M1 , M2關(guān)于拋物線對稱軸x=2對稱,
∵點(diǎn)N在拋物線對稱軸上, ∴M1N=M2N, ∴1+(b+2)2=26, ∴b=3,或b=﹣7,
∴10+b=13或10+b=3 ∴當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,8)時,N點(diǎn)坐標(biāo)為(2,13),
當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,8)時,N點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3)
【解析】(1)設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式y(tǒng)=a ( x 2 ) 2 +9,,把點(diǎn)A(0,5)代入解析式,即可求出解析式;(2)最值問題可利用函數(shù)思想解決,以P橫坐標(biāo)為自變量x,四邊形APCD的面積為函數(shù),構(gòu)建關(guān)系式,配成頂點(diǎn)式,求出最大值;(3)可利用平行四邊形的性質(zhì),對邊平行且相等,即MN∥AE,MN=AE,△HMN≌△AOE,可求出MN 的解析式,利用兩點(diǎn)間距離公式建立方程,求出坐標(biāo).

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【題目】如下圖所示,在直角坐標(biāo)系中,第一次將△OAB變換成△OA1B1,第二次將△OA1B1變換成△OA2B2,第三次將△OA2B2變換成△OA3B3, 已知A(1,3),A1 (2,3), A2 (4,3), A3 (8,3),B(2,0), B1 (4,0), B2 (8,0), B3 (16,0),觀察每次變換前后的三角形有何變化,找出規(guī)律,按此變換規(guī)律將△OA3B3變換成△OAnBn, ,則An的坐標(biāo)是_______ ,Bn的坐標(biāo)是_________ .

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【題目】如圖,山腳下有一棵樹AB,小強(qiáng)從點(diǎn)B沿山坡向上走50m到達(dá)點(diǎn)D,用高為1.5m的測角儀CD測得樹頂為10°,已知山坡的坡腳為15°,則樹AB的高=(精確到0.1m)(已知sin10°≈0.17,cos10°≈0.98,tan10°≈0.18,sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27).

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【題目】問題的提出:

如果點(diǎn)是銳角內(nèi)一動點(diǎn),如何確定一個位置,使點(diǎn)到△ABC的三頂點(diǎn)的距離之和的值為最?

1)問題的轉(zhuǎn)化:

繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到,連接,這樣就把確定的最小值的問題轉(zhuǎn)化成確定的最小值的問題了,請你利用圖1證明:

2)問題的解決:

當(dāng)點(diǎn)到銳角的三頂點(diǎn)的距離之和的值為最小時,求的度數(shù).

問題的延伸:

3)如圖2所示,在鈍角中,,,,點(diǎn)是這個三角形內(nèi)一動點(diǎn),請你利用以上方法,求點(diǎn)到這個三角形各頂點(diǎn)的距離之和的最小值.

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1)利用圖中條件,求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式.

2)根據(jù)圖象寫出使反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值的x的取值范圍.

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(2)若AC=2, , 求菱形ABCD的面積.

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