Question

【題目】如圖①，直線分別與軸、軸交于點(diǎn)，，拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且與軸的另一交點(diǎn)為．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）如圖①，點(diǎn)在第三象限內(nèi)的拋物線上．

①連接，，，當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

②為軸上一點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖②，為軸下方拋物線上任意一點(diǎn)，是拋物線的對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)，直線，分別交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，．問(wèn)：是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x-3；（2）①，②；（3）DM+DN是定值，定值為8．

【解析】

（1）由直線表達(dá)式求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，將A、B、C坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；

（2）①S四邊形ABPC=S△BPC+S△ABC=PFOB+ABOC= (-t2-3t)+6=(t+)2+，即可求解；②當(dāng)GJ=AG時(shí)，PG+AG取得最小值，即可求解；

（3）利用，，得，，即，，即可求解．

解：（1）在y=-x-3中，令x=0，得y=-3；令y=0，得x=-3，

∴B(-3，0)，C(0，-3)．

設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為y=a(x+3)(x-1)，

將點(diǎn)C(0，-3)代入，得a=1，

∴拋物線的函數(shù)解析式為y=x2+2x-3；

（2）①如圖①，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t，t2+2t-3)，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為(t，-t-3)，

∴PF=-t-3-(t2+2t-3)=-t2-3t，

∴S四邊形ABPC=S△BPC+S△ABC=PF·OB+AB·OC=(-t2-3t)+6=．

∵<0，

∴當(dāng)t=時(shí)，S四邊形ABPC取得最大值，

∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

②如圖②，作點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)I，連接AP，，過(guò)點(diǎn)P作PJ⊥于點(diǎn)J，交x軸于點(diǎn)G．當(dāng)GJ=AG時(shí)，PG+AG取得最小值，此時(shí)sin∠GAJ=，

∴tan∠GAJ=．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，t2+2t-3），則PI=-t2-2t+3，AI=-t+1，

由對(duì)稱的性質(zhì)，得∠PAI=∠GAJ，

∴tan∠PAI=，即，

解得t1=，t2=1（舍去），

∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

（3）DM+DN是定值．

解法一：如圖③，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥x軸于點(diǎn)H．

∵ND⊥x軸，

∴QH∥ND，

∴，，

∴，．

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(k，k2+2k-3)，則HQ=-k2-2k+3，BH=3+k，AH=1-k．

∵D是拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，

∴AD=BD=2，

∴，，

∴DN=2-2k，DM=2k+6，

∴DM+DN=2k+6+2-2k=8，

∴DM+DN是定值，該定值為8．

解法二：∵拋物線y=x2+2x-3的對(duì)稱軸為x=-1，

∴D（-1，0），則xM=xN=-1．

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(k，k2+2k-3)，

設(shè)直線AQ的解析式為y=dx+e，則，解得，

∴直線AQ的解析式為y=(k+3)x-k-3，

當(dāng)x=-1時(shí)，y=-2k-6，

∴DM=2k+6．

設(shè)直線BQ的解析式為y=mx+n，則，解得，

∴直線BQ的解析式為y=(k-1)x+3k-3，

當(dāng)x=-1時(shí)，y=2k-2，

∴DN=-2k+2，

∴DM+DN=2k+6+(-2k+2)=8，

∴DM+DN是定值，該定值為8．