【題目】如圖l,在矩形ABCD中,BC>AB,∠BAD的平分線AF與BD、BC分別交于點E、F,點O是BD的中點,直線OK∥AF,交AD于點K,交BC于點G.
(1)求證:△DOK≌△BOG;
(2)求證:AB+AK=BG:
(3)如圖2,若KD=KG=2,點P是線段KD上的動點(不與點D、K重臺),PM∥DG交KG于點M,PN∥KG交DG于點N,設PD=x,S△PMN=y,求出y與x的函數關系式.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】(1)先根據AAS判定△DOK≌△BOG,(2)再根據等腰三角形ABF和平行四邊形AFKG的性質,得出結論BG=AB+AK;(3)利用△DKG∽△PKM∽△DPN,由相似三角形的性質求出y與x的函數關系式.
解:(1)∵在矩形ABCD中,AD∥BC
∴∠KDO=∠GBO,∠DKO=∠BGO
∵點O是BD的中點
∴DO=BO
∴△DOK≌△BOG(AAS)
(2)∵四邊形ABCD是矩形
∴∠BAD=∠ABC=90°,AD∥BC
又∵AF平分∠BAD
∴∠BAF=∠BFA=45°
∴AB=BF
∵OK∥AF,AK∥FG
∴四邊形AFGK是平行四邊形
∴AK=FG
∵BG=BF+FG
∴BG=AB+AK
(3)解法一:
如圖,過點G作GI⊥KD于點I,
由(2)知,四邊形AFGK是平行四邊形,△ABF為等腰直角三角形.
∴AF=KG=2, .
∵四邊形ABCD是矩形,
∴GI=AB=,。
∵PD=x
∴PK=2﹣x
∵PM∥DG,PN∥KG
∴四邊形PMGN是平行四邊形,△DKG∽△PKM∽△DPN
∴,
即
同理,
.
解法二:
如圖,過點P作PQ⊥KG于點Q,
∴KD=KG,∠KDG=∠KGD
又∵PN∥KG
∴∠PND=∠KGD
∴∠PND=∠KDFG
∴PN=PD=x.
∵AF∥KG,
∴∠PKM=∠DAF=45°,又∵PK=2﹣x
∴
又∵PN∥KG,
.
“點睛”本題主要考查了矩形的性質以及平行四邊形的性質,解題時需要運用全等三角形的判定與性質.解答此題的關鍵是運用相似三角形的面積之比等于相似比的平方這一性質,并根據圖形面積的等量關系列出方程進行求解,難度較大,具有一定的綜合性.
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【題目】某校九年級一班數學調研考試成績繪制成頻數分布直方圖,如圖(得分取整數).請根據所給信息解答下列問題:
(1)這個班有多少人參加了本次數學調研考試?
(2)60.5~70.5分數段的頻數和頻率各是多少?
(3)請你根據統(tǒng)計圖,提出一個與(1),(2)不同的問題,并給出解答.
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【題目】如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD的中點,過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F,連接CF.
(1)求證:AF=DC;
(2)若AB⊥AC,試判斷四邊形ADCF的形狀,并證明你的結論.
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【題目】圖①是一面矩形彩旗完全展平時的尺寸圖(單位:cm),其中矩形ABCD是由雙層白布縫制的穿旗桿用的旗褲,陰影部分DCEF為矩形綢緞旗面.
(1)用經加工的圓木桿穿入旗褲作旗桿,求旗桿的最大直徑(精確到1cm);
(2)將穿好彩旗的旗桿垂直插在操場上,旗桿從旗頂到地面的高度為220cm,在無風的天氣里,彩旗自然下垂,如圖②,求彩旗下垂時最低處離地面的最小高度h.
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【題目】某商場新進一批空調,按進價提高30 %后標價.五一期間,商場為了促銷,又按標價打九折銷售,每臺空調仍可獲利680元,該批空調每臺的進貨價格為________元.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=5,AB邊上的高CD=4.點P從點A出發(fā),沿AB以每秒3個單位長度的速度向終點B運動.當點P不與點A、B重合時,過點P作PQ⊥AB,交邊AC或邊BC于點Q,以PQ為邊向右側作正方形PQMN.設正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形的面積為S(平方單位),點P運動的時間為t(秒).
(1)求tanB的值.
(2)求點M落在邊BC上時t的值.
(3)當正方形PQMN與△ABC重疊部分為四邊形時,求S與t之間的函數關系式.
(4)邊BC將正方形PQMN的面積分為兩部分時,設這兩部分的面積比為k.當時,直接寫出t的取值范圍.
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